Enkel integrajonsoppgave

[ThomasSkas]

http://gyazo.com/89caae520ce5aebb4ccc74160b03c466

Dette er skjermbildet av oppgaven. Oppgave a) klarte jeg fint.
Men b) sliter jeg med å forstå. Jeg vet ikke hvilket uttrykk jeg skal kunne sette opp. Jeg prøvde f. eks å multiplisere integralet med 1.02, men det fungerte ikke.
Svaret er forøvrig 4153 kr.

Takk.

[Nebuchadnezzar]

Er vel bare $U(x+1) = U(x) \cdot 1.02$ eller med andre ord $U(x) \cdot 1.02^x$.

[ThomasSkas]

Er vel bare $U(x+1) = U(x) \cdot 1.02$ eller med andre ord $U(x) \cdot 1.02^x$.

Hei, takk skal du ha. Jeg forstod det andre uttrykket veldig godt, men det første vil jeg gjerne forstå.
Hvordan kan man tenkte slik hvis man bruker det første, og hvordan regner man på akkurat det uttrykket i så fall?

[Nebuchadnezzar]

Er vel bare å behandle det som en differenslikning, eller med andre ord en difflikning. Står mer på nettet.
Vi har at U stiger $2\percent$ fra år til år altså har vi at fra år $x$ til år $x+1$ så vil den stige $1.02$ med andre ord
$U(x+1) = U(x) \cdot 1.02$ (en pirkete sur matematikker vile nok brukt notasjonen $u_{x+1} = u_{x} \cdot 1.02$ for å understreke at dette er en differenslikning)

Veldig grovt, og med mye armvifting kan en gjøre det som følger

$ \hspace{1cm}
U(x+1) = U(x) \cdot 1.02 = U(x-1) \cdot 1.02^2 = U(x-2) \cdot 1.02^3 = \cdots = U(x-x) \cdot 1.02^{x+1} =1.02^{x+1}
$

Hvor en så helt bort i fra konvergenstesting og slikt. For en nøyere innføring se fra side 18 her http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... ndium2.pdf. Altså siden $u_{x+1} = u_{x}\cdot 1.02 $ betyr dette at $u_y = u_{y-1} \cdot 1.02$, ved å sette inn $x=y-1$. Altså er $u_{x+1} = u_{x} \cdot 1.02 = (u_{x-1} \cdot 1.02)1.02 = u_{x-1} \cdot 1.02^2$. Slik kan en fortsette til en går lei.

Tillegg: Merk at det ikke er noe vanskelig å finne et nøyaktig svar heller. La $a = 1.006$ og $b = 1.02$ vi har da
at $u_n = 125 \cdot (ab)^n$. Den totale summen blir altså

$
S_n
= \sum_{k=1}^n u_k
= -125 + 125 \sum_{k=0}^n (ab)^k
= 125 \left( - 1 + \frac{ (ab)^{n+1}-1) }{ a b-1} \right)
= 125 ab \cdot \frac{ (ab)^{n} - 1 }{ab - 1}
$

Hvor vi brukte at $\sum_0^{n} r^n = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}$. Som burde være kjent? Uansett ved å sette inn verdiene for $a$, $b$ og $n = 2 \cdot 12$ fås

$
S_{24} \approx 4207.207503
$

Integral-tilnærimgen er altså ikke halv-gærn.

[ThomasSkas]

Aha, Vi har ikke hatt om diff. likninger i R2 ennå. Jeg tror det er mot slutten av kurset.
Vi har heller ikke lært om integrasjonsreglene delbrøkoppspalting, delvis integrasjon og variabel skifte.

Er det dermed mulig for meg å løse denne oppgaven med vanlig bestemt integral, eller bør jeg bruke digitalt hjelpemiddel?

[Lektorn]

Integralet i b) er like lett/vanskelig som integralet i a) når du først finner funksjonsuttrykket. Du får to vekstfaktorer her der begge har x som eksponent. Klarer du å slå sammen disse slik at du får en "vanlig" vekstfunksjon?

[Aleks855]

Det er vel meninga du skal finne en tilnærming til svaret ved å bruke bestemt integrasjon.

Eksempel: http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-1- ... ultat-1074

Merk også at det Nebu bruker er en differenslikning, som ikke må forveksles med differensiallikning. Sistnevnte er pensum i R2. Førstnevnte er som regel pensum først på høyskole/universitet.

[ThomasSkas]

Integralet i b) er like lett/vanskelig som integralet i a) når du først finner funksjonsuttrykket. Du får to vekstfaktorer her der begge har x som eksponent. Klarer du å slå sammen disse slik at du får en "vanlig" vekstfunksjon?

Hei,

Jeg tenkte å bruke potensregning, men kommer bare til at:

[tex]U(x)=125\cdot (1.006^x\cdot 1.02^x)[/tex]

Grunntallene er ikke like, så jeg kan ikke addere eksponentene. Tenkte deretter at man kanskje kan faktorisere parentesen, men kom ingen vei.

[Nebuchadnezzar]

Tja $a^x \cdot b^x = (ab)^x$...

[ThomasSkas]

Tja $a^x \cdot b^x = (ab)^x$...

Ja, selvfølgelig stemmer det. Jeg har vært litt for lenge borte fra slike oppgaver.

Tusen takk.

Det er vel meninga du skal finne en tilnærming til svaret ved å bruke bestemt integrasjon.

Eksempel: http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-1- ... ultat-1074

Merk også at det Nebu bruker er en differenslikning, som ikke må forveksles med differensiallikning. Sistnevnte er pensum i R2. Førstnevnte er som regel pensum først på høyskole/universitet.

Tusen takk for hjelpen til deg og Lektorn også. Videoene dine er veldig gode, Aleks!