Geometriske rekker

[Vg3 eleven]

Hei, jeg har en oppgave som lyder slik: Bård har en bakterieinfeksjon og tar tabletter som inneholder antibiotika
* I hver tablett er det 200 mg antibiotika
* I løpet av en time reduseres mengden antibiotika med 10%
* Bård tar en tablett hver sjette time
*Største forsvarlige kroppsdose for dette antibiotikumet er satt til 1g.

Hvor mye antibiotika har Bård i kroppen sin rett etter at han har tatt sin andre tablett?

Jeg tenker slik: 200*0.9^6 = 106.2882. Da har tabletten blitt redusert etter 6 timer, men så må man plusse på 200mg som er den nye tabletten han tar inn. Derfor 106+200 = 306mg. Er dette riktig?

Undersøk om tablettkuren Bård står på, er forsvarlig.

Jeg ser at 200*0.9^6 = 106 + 200 = 306 * 0.9^6 = 162 + 200 = 362. Det flater ut etterhvert. Er det noe formel jeg kan bruke her?

Takker for svar!

[Anonym00]

Noen synspunkter?

[Lektorn]

106,3 og derfor 306,3 er riktig.

Det blir ikke noen geometrisk rekke, men du klarer vel å uttrykke det med en formel. Det er kanskje lettest å se på innholdet i kroppen rett før han tar en ny tablett, så grensen for max-verdi må settes ned med 200 mg.
En måte å skrive det på er $a_0 = 0$ og $a_n = (a_{n-1} + 200) \cdot 0,9^6$

[robinboy]

Noen synspunkter?

Ja!
Det som fikk meg på idéen om hvordan man skal løse denne oppgaven er:
[tex]1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... = 2[/tex]
Dette vet du kanskje hvis dere jobber med geometriske rekker.

Derfor vet jeg at om verdiene hans hadde blitt halvert hver 6. time ville hans blodverdier være:
200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 + ... = 400ml etter uendelig mange timer.

Nå er vi ikke så heldige at blodverdiene sank med 50 % etter 6 timer. Vi må derfor være litt lure!

Blodverdiene sank i hvert fall med mer enn 25%, så la oss se hva som skjer hvis de synker med 25%. Hvis de ikke når 1000mg selv med 25% reduksjon, vil vi være trygge med vår reduksjon som jo nesten var 50%.


[tex]S = 200 + 200\cdot (\frac{3}{4}) + 200\cdot (\frac{3}{4})^{2} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{3} + ...[/tex]

[tex]\frac{3}{4}S = 200\cdot \frac{3}{4} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{2} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{3} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{4} + ...[/tex]

Hvis vi nå regner ut [tex]S - \frac{3}{4}S[/tex] ser vi at nesten alle leddene kan slettes mot hverandre! Vi sitter bare igjen med 200 fra den øverste summen!
[tex]\frac{1}{4}S[/tex] må derfor være 200
Og da ser vi at S = 800, noe som er mindre enn 1000.
Kuren vil derfor være sunn, selv om han tar piller hver 6. time resten av livet!

Matte er ikke så lett å forklare skriftlig. Si ifra om det er noe som var uklart!


Ivan