Volum ved integrasjon

[carawula]

"Vi skal regne ut volumet av en gjenstand, og tenker oss en koordinatakse plassert sammen med gjenstanden slik at endeflatene på gjenstanden ligger normalt på
koordinataksen i x = 1 og x = 4. Hvis vi lager et snitt gjennom gjenstanden normalt på koordinataksen i punktet med
koordinaten x, får vi fram en flate med arealet
A(x) = 2 * x * √x

Finn volumet av gjenstanden."

Jeg klarer ikke å finne svaret på denne oppgaven... For å kunne bruke volumformelen (V=pi * integralet av (f(x))^2 dx), så må jeg jo ha et funksjonsuttyrkk for en graf f, men hvordan kan jeg finne det når jeg har funksjonen for arealet?

[damc]

Det er meningen at du skal bruke formelen over, med x verdier som er oppgitt i oppgaven.

[ThomasSkas]

"Vi skal regne ut volumet av en gjenstand, og tenker oss en koordinatakse plassert sammen med gjenstanden slik at endeflatene på gjenstanden ligger normalt på
koordinataksen i x = 1 og x = 4. Hvis vi lager et snitt gjennom gjenstanden normalt på koordinataksen i punktet med
koordinaten x, får vi fram en flate med arealet
A(x) = 2 * x * √x

Finn volumet av gjenstanden."

Jeg klarer ikke å finne svaret på denne oppgaven... For å kunne bruke volumformelen (V=pi * integralet av (f(x))^2 dx), så må jeg jo ha et funksjonsuttyrkk for en graf f, men hvordan kan jeg finne det når jeg har funksjonen for arealet?

Hei!

Du tenker riktig og det er sant det du sier med et funksjonsuttrykk og volum.
Du har oppgitt arealfunksjonen. Det du først skal gjøre er å finne radien. Du forstår oppgaven bedre hvis du tegner opp, fordi hvis du tegner opp figuren og dreier den, så vil de indre delen kunne tegnes som sirkler. Arealet av disse flatene er A(x), som er oppgitt i oppgaven. Du finner Radien ved hjelp av A (x) = [tex]A(x)=\pi x^2 \Rightarrow x=\sqrt{\frac{A(x)}{\pi }}=\sqrt{\frac{(2x\sqrt{x})}{\pi }}[/tex]

Forutsatt at jeg ikke har bommet på noe nå, så vil dette være din f(x), altså uttrykket for radiusen til flatestykket. Dette bruker du til slutt volumformelen til integrasjonen.

[Vektormannen]

ThomasSkas: Det er ikke gitt noe sted i oppgaven at dette er et omdreiningsvolum, så å gjøre det slik er unødvendig og litt misvisende. Det du foreslår blir egentlig å finne en ny funksjon (ikke funksjonen som beskriver kanten til figuren!) som viser seg å gi et sirkulært flateareal med samme areal som A(x)).

Siden man allerede har fått oppgitt arealet til flatene trenger man ikke å gjøre noe mer enn å integrere arealet fra x = 1 til x = 4. Det som skjer da er at vi deler opp volumet i tynne skiver med bredde $\text{d}x$. Skiven som befinner seg i posisjon $x$ har da har volum $A(x) \ \text{d}x$. Summerer vi opp disse fra x = 1 til x = 4 får vi $V = \int_1^4 A(x) \ \text{d}x$.

[ThomasSkas]

ThomasSkas: Det er ikke gitt noe sted i oppgaven at dette er et omdreiningsvolum, så å gjøre det slik er unødvendig og litt misvisende. Det du foreslår blir egentlig å finne en ny funksjon (ikke funksjonen som beskriver kanten til figuren!) som viser seg å gi et sirkulært flateareal med samme areal som A(x)).

Siden man allerede har fått oppgitt arealet til flatene trenger man ikke å gjøre noe mer enn å integrere arealet fra x = 1 til x = 4. Det som skjer da er at vi deler opp volumet i tynne skiver med bredde $\text{d}x$. Skiven som befinner seg i posisjon $x$ har da har volum $A(x) \ \text{d}x$. Summerer vi opp disse fra x = 1 til x = 4 får vi $V = \int_1^4 A(x) \ \text{d}x$.

Hmm, jeg husker at klassen vår arbeidet med denne oppgaven for noen måneder siden, og mange integrerte funksjonen direkte, og ingen av oss fikk fasitsvaret. Da læreren så på den, sa han, og viste at vi skulle skrive om til en f(x) funksjon, men hva vet jeg. Da fikk vi ihvertfall rett svar.
Ville bare bidra.