Vanskelig faktorisering

[stensrud]

[tex]4abc+2ab+2bc+2ca+a+b+c=1006[/tex]

Der a, b og c er positive heltall. Hva er a+b+c?



Har så langt kommet fram til to uttrykk:

[tex]a(bc+2b+1)+b(ac+2c+1)+c(ab+2a+1)+abc=1006[/tex]

og

[tex]2(a+1)(b+1)(c+1)-(a+1)-(b+1)-(c+1)+2abc=1002[/tex]



Kommer ikke noe særlig videre på noen av uttrykkene, og fasiten gir bare et tallsvar. Kunne noen gitt meg et hint om jeg er på riktig spor, eller helt på bærtur?

[Brahmagupta]

Ligningen er på formen $P(a,b,c)=1006$. Prøv heller å faktoriser venstresiden i den ekvivalente ligningen
$2P(a,b,c)+1=2013$.

[stensrud]

Ligningen er på formen $P(a,b,c)=1006$. Prøv heller å faktoriser venstresiden i den ekvivalente ligningen
$2P(a,b,c)+1=2013$.

Litt usikker på hva $P(a,b,c)$ betyr?

[Brahmagupta]

$P(a,b,c)=4abc+2ab+2ac+2bc+a+b+c$.

Så det jeg mener er at du heller burde se på $2(4abc+2ab+2bc+2ac+a+b+c)+1=2007$. Da er det lettere å
finne en passende faktorisering.

[stensrud]

$P(a,b,c)=4abc+2ab+2ac+2bc+a+b+c$.

Så det jeg mener er at du heller burde se på $2(4abc+2ab+2bc+2ac+a+b+c)+1=2007$. Da er det lettere å
finne en passende faktorisering.

Aha!

[robinboy]

$P(a,b,c)=4abc+2ab+2ac+2bc+a+b+c$.

Så det jeg mener er at du heller burde se på $2(4abc+2ab+2bc+2ac+a+b+c)+1=2007$. Da er det lettere å
finne en passende faktorisering.

Yoho, jeg fant løsningen, selv om jeg tror du skulle skrive = 2013 og ikke 2007.
Men: Hvordan i sø___ fant du ut at du ville gange med to og legge til 1?

Ivan

[Brahmagupta]

Yoho, jeg fant løsningen, selv om jeg tror du skulle skrive = 2013 og ikke 2007.
Men: Hvordan i sø___ fant du ut at du ville gange med to og legge til 1?

Ivan

Ja, jeg mente selvfølgelig $=2013$

Vi ønsker altså å skrive om ligningen på en form slik at vi kan få noe informasjon om eventuelle løsninger. Det er ingen naturlig
måte å faktorisere uttrykket $4abc+2(ab+bc+ca)+(a+b+c)$ siden vi ikke har noe konstantledd. For å finne en faktisk faktorisering
er det som regel lurt å prøve seg litt fram. Ser vi for eksempel på uttrykket

$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1$

minner dette mye om uttrykket vårt, men koeffisientene passer ikke helt. Vi mangler en faktor 4 i første ledd og en faktor 2 i andre ledd.
Dermed er det naturlig å prøve med

$(2a+1)(2b+1)(2c+1)=8abc+4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+1=2(4abc+2(ab+bc+ca)+(a+b+c))+1$

og dette ser vi at vi kan oppnå ved å multiplisere den opprinnelige ligningen med 2 og legge til 1.