Usikker på utregning av grenseverdi(trigonometrisk funksjon)

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg er litt usikker på følgende grenseverdi.

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x+sinx}{x^4+x^2+cosx}[/tex]

Prøvde å dele med dominerende ledd, men det ble ikke rett, tror jeg.

Har generelt problemer med uttrykk som inneholder trigonometriske uttrykk. Boken er litt tynn på eksempel og lærer har tatt ferie, så hadde satt pris på gode råd!

Mvh

Johan

[Norm]

Hva får du hvis du har et uttrykk av formen [tex]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\cos{(x)} + \sin{(x)}}{x} = ?[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Klarer du det ikke? Beklager at jeg spør, men her er det masse muligheter =D

Løsning: 1

Bruk l'hopitals regel $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
Fortsett og deriver teller og nevner helt til du ikke har ett $\left[ \frac{\infty}{\infty}\right]$ utrykk.

Løsning: 2

Del teller og nevner på $x^3$ og bruk at $\lim_{x \to \infty} (\cos x) / x =\lim_{x \to \infty} (\sin x) / x = 0$

Løsning: 3

Skvise-theoremet

$ \hspace{1cm}
\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2+0}
\geq \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x^\phantom{2}+\sin x}{x^4+x^2+\cos x}
\geq \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x+0}{x^4+x^2+1}
$

Hvorfor stemmer dette da, mon tro?

[Johan Nes]

Klarer du det ikke? Beklager at jeg spør, men her er det masse muligheter =D

Nei, det var derfor jeg spurte!

Men skjønner nå. "Glemte" eller fikk ikke til å tenke at sin x/x og cosx/x (eller her sin x/x^3 og cos x/x^3) nødvendigvis må bli 0, ettersom sin x og cos x maksimalt kan bli 1. Dermed er det jo i praksis 1/uendelig som er (tilnærmet) null.

Skylder på en lang dag på skole og tynnslitte nerver etter eksamensperioden.

Forresten så gikk jeg for løsning nummer to (tror ikke den var "ment" å løses med l'hopitals regel, selv om jeg har kjennskap til den).

Sto igjen med 1/x som skulle bli 0. Og det skulle vel stemme?

[Nebuchadnezzar]

Stemmer det Studer metode 1 og spesielt 3 også. Her er det mye å lære.

[Johan Nes]

Stemmer det Studer metode 1 og spesielt 3 også. Her er det mye å lære.

Yes, sir. Jeg har mye å lære. Leste gjennom kapittelet for kontinuitet først i går.

Nytt n00b-spørsmål:

[tex]\lim_{x\rightarrow 0+}=\frac{1+x}{\sqrt{x}}[/tex]

Dette uttrykket vil vel nærme seg [tex]+\infty[/tex]

Så her eksisterer ikke grenseverdien, sant? Og det er fordi man ikke nærmer seg et SPESIFIKT tall, men et uendelig stort tall?

For selve definisjonen (kanskje ikke helt presist) på en grenseverdi er vel at man skal nærme seg et spesifikt tall fra begge sider?

Må ha dette inn med teskje tror jeg.

[Nebuchadnezzar]

Den grensen eksisterer, og den er $\infty$. En grense kan godt gå mot $\infty$ eller $-\infty$.

Dersom en grense er $\lim_{x\to a} f(a)$ må vi sjekke at høyre og venstre grenseverdi skal være like. Altså at $\lim_{x\to a} f(a)$ eksisterer hvis og bare hvis $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x)$. Dette er jo bare definisjonen av en grenseverdi. Men du ble bare bedt om å bare studere $+$ tilfellet og den grensen går mot $\infty$.

Ett eksempel på hvor en grenseverdi ikke eksisterer $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$ som ikke eksisterer, fordi $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$ og $\lim_{x\to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$
Ett eksempel på hvor en grenseverdi eksisterer $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}$ som eksisterer, fordi $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^2} = \infty$ og $\lim_{x\to 0^{-}} \frac{1}{x^2} = \infty$
To eksempler på grenseverdier som ikke eksisterer er $\lim_{x \to \infty} (\cos x)^2$ og $\lim_{x \to \infty} (\sin x)^2$ siden begge oscillerer mellom $-1$ og $1$. Men hva med summen av grensene?

Angående l'hôpital så ikke bli for glad i regelen. Det er ikke vanskelig å komme opp med enkle grenser som ikke kan løses med den metoden

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\,.
$

Eller en enda mer utspekulert

$ \hspace{1cm}
\lim\limits_{ x \to \infty }{ \frac { x+\sin { x } }{ x } } .
$

Hva skjer om du hadde brukt l'hopital her?

[Johan Nes]

Den grensen eksisterer, og den er $\infty$. En grense kan godt gå mot $\infty$ eller $-\infty$.

Dersom en grense er $\lim_{x\to a} f(a)$ må vi sjekke at høyre og venstre grenseverdi skal være like. Altså dersom $\lim_{x \to a^+} f(x) \neq \lim_{x \to a^{-}} f(x)$. Dette er jo bare definisjonen av en grenseverdi. Men du ble bare bedt om å studere + tilfellet og den grensen går mot $\infty$.

Aha. Med på det du sier her. Så om man skulle studere tilfellet X-->0, altså en tosidig grense, så hadde det vært riktig at grensen ikke eksisterer?

Greien er at fasiten her sier, "Grensen eksisterer ikke". Men mulig det er et definisjonsspørsmål.

Hva skjer om du hadde brukt l'hopital her?

Kan jeg svare deg senere?

Hva med denne grensen her?

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^3 +4x^2}}{x^2-x}[/tex]

Plotter grafen og ser at man nærmer seg to ulike tall nedenfra og ovenfra, altså grenseverdien eksisterer ikke, jfr. fasit, men skjønner IKKE hvordan jeg skal regne det ut.

Sliter også med denne:

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{x^2+2x}-x)[/tex]

Har prøvd å se på det som en brøk og gange med den konjugerte oppe og nede. Da står jeg igjen med 2x i teller, men har egentlig bare snudd på problemet og kommer ikke videre derifra

Håper du har noen innspill, Nebuchadnezzar. Du er en sann helgen og et godt medmenneske!

[Nebuchadnezzar]

Er nok et definisjonsspørsmål for noen ja. Om du skriver at grenseverdien divergerer mot uendelig (evnt minus uendelig) er du uansett trygg.
På den grenseverdien din kan du vel gjøre noe allà

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{x^3+4x^2\,} }{x^2 -x}
= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2\,} }{x} \frac{\sqrt{x+4\,} }{x -1}
= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4\,} }{x -1} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2\,} }{x}
= - 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2\,} }{x}
$

Resten av drøftingen overlater jeg til deg.

$\hspace{1cm}
\lim_{x\to \infty} \sqrt{x^2+2x\,} - x = \lim_{x\to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x\,}+x\,} =2\lim_{x\to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + 2/x\,} + 1\,}
$

Hvor vi delte på $x$ iteller og nevner i siste overgang. Klarer du resten da?

[Johan Nes]

Resten av drøftingen overlater jeg til deg.

Lekkert. Følger utregningen din, men litt usikker på det videre.

Fasiten sier: "Grensen eksisterer ikke. Ensidige grenser ulike."

Jeg trodde det til slutt ble:

[tex]-2*\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}[/tex]

Og den siste der blir vel 0 eller "ikke definert"?

Trodde den siste grensen der ble lik enten man nærmet seg ovenfra eller underfra?

Beklager mange spørsmål her, men prøver virkelig å forstå. Er ikke så lett.

Hvor vi delte på $x$ iteller og nevner i siste overgang. Klarer du resten da?

I kvadratroten vil 2/x gå mot null når x går mot uendelig, så da faller det leddet bort?

Kan jeg da bare skrive, 2 * 1/2?

Er det rett føring?

Igjen, takk så mye for hjelpen.

[Nebuchadnezzar]

Angående første oppgave så jo vi at $\sqrt{x^2} = x$ og $\sqrt{x^2}=-x$. Dette kan vi se ved å kvadrere likningene. Så det er dessverre ikke rett
at $\sqrt{x^2}=x$. For å få ett korrekt uttrykk sier vi gjerne at $\sqrt{x^2} = |x|$. Altså absoluttverdien til $x$. Gir deg ett forsøk til til å komme i mål =)

Siste oppgave er rett tolkning ja $2/x$ går mot null så hele uttrykket går mot $1$.

[Johan Nes]

For å få ett korrekt uttrykk sier vi gjerne at $\sqrt{x^2} = |x|$. Altså absoluttverdien til $x$. Gir deg ett forsøk til til å komme i mål =)

Jeg vet jo det da! Men hvorfor glemmer jeg dette? Har gått på den 'smellen' noen ganger før. Oki. Skal se på det i kveld eller i morgen. Takker så lenge.

Siste oppgave er rett tolkning ja $2/x$ går mot null så hele uttrykket går mot $1$.

Nice! Men er det korrekt føring å da på neste linje skrivet uttrykket UTEN 2/X eller kan jeg til og med bare hoppe rett til 2 * 1/2. Lurer på hvor mye som er nødvendig å vise liksom.

[Nebuchadnezzar]

Tanken er at du kan hoppe over så mange omskrivninger og algebraiske krumspring du bare vil. Det er essensen som er viktig å ha med.
Alt som ikke er algebraiske omskrivninger skal altså rettferdiggjøres. Du må altså trekke ut det viktigste fra hver oppgave, hva tester foreleser meg i på dette spørsmålet?
Her vil det nok være å forklare overgangene

og $\lim_{x\to \infty} \sqrt{x^2-2x} -x = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + 2/x} + 1}$ og $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + 2/x} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1}$ grundig =)

Alt annet er unødvendig, og ting en tar med om en har tid.

[Gustav]

Den grensen eksisterer, og den er $\infty$. En grense kan godt gå mot $\infty$ eller $-\infty$.

Johan jobber her åpenbart i $\mathbb{R}$ (vanlig kalkulus), og da betyr det at dersom grenseverdien går mot uendelig, så vil ikke grensen eksistere. Årsaken er at $ \infty \not \in \mathbb{R}$.

I analyse og målteori er det riktignok vanlig å jobbe i utvidelsen av den reelle tallinja, $\mathbb{R}^+=\mathbb{R}\cup\{\pm \infty\}$. Da vil f.eks. $\lim_{x\to \infty}x=\infty$ eksistere (fordi $\infty\in \mathbb{R}^+$), mens $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ ikke eksisterer av årsaken som allerede er nevnt tidligere i tråden).

Det er iallfall slik jeg har brukt å tenke på saken.

[Gustav]

Løsning: 3

Skvise-theoremet

$ \hspace{1cm}
\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2+0}
\geq \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x^\phantom{2}+\sin x}{x^4+x^2+\cos x}
\geq \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x+0}{x^4+x^2+1}
$

Hvorfor stemmer dette da, mon tro?

Det er vel lettere å bruke/vise

$ \hspace{1cm}
\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x+1}{x^4+x^2-1}
\geq \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x^\phantom{2}+\sin x}{x^4+x^2+\cos x}
\geq \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^3+x-1}{x^4+x^2+1}
$

siden cos og sin oscillerer mellom $\pm 1$.