Usikker på utregning av grenseverdi(trigonometrisk funksjon)

[Johan Nes]

Gir deg ett forsøk til til å komme i mål =)

Er dette rett?

[tex]-2*\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}[/tex] eller [tex]-2*\lim_{x\rightarrow 0}-\frac{x}{x}[/tex]

Og ettersom det ikke er et entydig svar her, så eksisterer ikke grensen?

Hva gjør man egentlig med den siste grensen [tex]\frac{x}{x}[/tex]?

Jeg sliter litt med å forstå logikken her. I min verden skulle jo dette bli null, når x går mot 0, altså 0 delt på 0.

Men bruker man L'Hopital (ikke introdusert for dette kapittelet forresten og trolig ikke ment å bruke), så får man vel 1/1 på brøken.

Og 2 * 1 eller 2 *-1 = 2 eller -2.

Hmmm...

Hvor langt ute er jeg og sykler?

[Johan Nes]

Tanken er at du kan hoppe over så mange omskrivninger og algebraiske krumspring du bare vil. Det er essensen som er viktig å ha med.
Alt som ikke er algebraiske omskrivninger skal altså rettferdiggjøres. Du må altså trekke ut det viktigste fra hver oppgave, hva tester foreleser meg i på dette spørsmålet?
Her vil det nok være å forklare overgangene

og $\lim_{x\to \infty} \sqrt{x^2-2x} -x = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + 2/x} + 1}$ og $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + 2/x} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1}$ grundig =)

Alt annet er unødvendig, og ting en tar med om en har tid.

Gir mening! Takk igjen.

Den grensen eksisterer, og den er $\infty$. En grense kan godt gå mot $\infty$ eller $-\infty$.

Johan jobber her åpenbart i $\mathbb{R}$ (vanlig kalkulus), og da betyr det at dersom grenseverdien går mot uendelig, så vil ikke grensen eksistere. Årsaken er at $ \infty \not \in \mathbb{R}$.

Stemmer. Og takk forresten.

[Nebuchadnezzar]

Beklager småfeilene. Har vært så lenge i reell analyseland at jeg ikke lengre husker vanlig kalkulus.

Angående første oppgave så prøv å tegne funksjonen $|x|$ samt $|x|/x$. God øvelse og også sette inn verdier for å se hva som skjer.
Eg sett $x=0.1$, $x=0.001$ osv, og $x=-0.1$, $x = -0.0001$. Tanken er jo at du får

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^{-}} \frac{|x|}{x} & = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{|-x|}{-x} = \lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x}{x} = - 1 \\
\lim_{x \to 0^{+}} \frac{|x|}{x} & = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{|+x|}{+x} = \lim_{x \to 0^{+}} \phantom{-}\frac{x}{x} = \phantom{-} 1
\end{align*}
$

Litt usikker på hvordan jeg skal ordlegge meg, men vi når jo aldri null. En grenseverdi bryr seg bare om reisen mot punktet, aldri hva som
skjer i selve punktet.. Altså bryr vi oss ikke om hva som skjer når $x=0$, bare hva som skjer når $x\to 0$. Anta at $x\neq 0$
da er jo $x/x = 1$ for alle $x$.

[Johan Nes]

Ah...brilliant, Nebuchadnezzar. Tror jeg skjønner nå! Gikk opp et lite lys for meg.

Selvsagt blir x/x = 1. Det er jo ganske opplagt, selv om det ikke var det for meg tidligere i kveld.

Og du skal selvsagt ikke beklage noe som helst. Du er en enorm ressurs for meg og mange andre her når vi sliter.

Er dog ikke helt sikker på hvordan jeg skal føre dette med pennen videre fra hvor du avsluttet litt lenger oppe her. Er det slik at når man løser opp den roten får man automatisk to grenseverdier som blir ulike?

Altså at jeg kan bare skrive direkte det du skrev i siste innlegg? Den for når x nærmer seg 0 underfra og den for når x nærmer seg 0 ovenfra?

Så ser man at de to blir ulike og konkluderer dermed med at grensen ikke eksisterer?

[Nebuchadnezzar]

Stemmr det. Du viser bare utregningen og skriver noe allà "Siden høyre og venstre grenseverdi er ulike, eksisterer ikke grensen".
Som er vel omtrent det samme som løsningsforslaget sa?

[Johan Nes]

Awesome! You the man, Nebu!

Dette blir satt pris på.