L'Hopital

[isox]

Følgende oppgave:

[tex]\lim x\rightarrow 0 \left ( \frac{1}{x} - cot(x) \right )[/tex]

Blir etter mitt hode inf-inf og må gjøres om til inf/inf.

[tex]\frac{1-xcot(x))}{x}[/tex]

Dette må vel deriveres igjen til:

[tex]\frac{-cot(x)+xcot^2(x)+x)}{1}[/tex]

Så er jeg litt usikker på om jeg har gjort rett. Svaret skal være 0. Men jeg får dette til å bli -uendelig. Hva gjør jeg galt?

[Nebuchadnezzar]

Du har nok gjort rett. Men hvorfor føler du at l'hôpital fører frem?
Grenser hvor en ganger polynomer med periodiske funksjoner eller eksponensialer bør en unngå l'hopital.

Vet du om noen andre metoder å beregne grensen på? (En kan og skrive om $\cot x$ og deretter bruke l'hôpital, men da er en bare veldig sta.)

[isox]

Du har nok gjort rett. Men hvorfor føler du at l'hôpital fører frem?
Grenser hvor en ganger polynomer med periodiske funksjoner eller eksponensialer bør en unngå l'hopital.

Vet du om noen andre metoder å beregne grensen på? (En kan og skrive om $\cot x$ og deretter bruke l'hôpital, men da er en bare veldig sta.)

Uansett hva jeg prøver på så får jeg uendelig. Kan uendelig minus uendelig bli 0? Hvis ja, hva med 2*uendelig - uendelig? fremdeles lik 0? Ellers trenger jeg tips for å løse denne.

[Nebuchadnezzar]

Rekkeutvikling er alltid en klassiker. For små verdier har vi at $\cos x \approx 1$ og $\sin x \approx x$ så $\cot x = \cos x / \sin x \approx 1/x$.
Evnt med litt høyere presisjon har vi at $x \cot x \approx 1-\frac{1}{2} x^2$. Men å derivere å vise rekkeutviklingen lar jeg være opp til deg, er jo bare å bruke taylors formel.

Bruker vi definisjonen av $\cot x$ kan grensen din skrives som

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \cot x \right)
= \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x \cos x }{x \sin x } \left[ \frac{0}{0}\right]
= \lim_{x\to 0} \frac{ x \sin x }{ x \cos + \sin x } \left[ \frac{0}{0}\right]
= \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x \cos x }{ 2 \cos x - x \sin x }
$

Hvor $\left[0/0 \right]$ indikerte at l'hôpital ble benyttet. Her overlater jeg mellomregningene til deg. Men som en ser tar denne metoden lengre tid enn rekkeutvikling.