1T Geometri / rettvinklede trekanter

[gohandomax]

Ja det holder, men hvordan vil du bruke det i denne oppgaven?

Jeg bruker det for de små for å løse oppgaven, jeg har i utregningen ignorert den store trekanten, men jeg er klar over at den er der, og den er formlik også. Utover dette ser jeg ikke noe problem med utregningen; sidens lengde er funnet og samtidig har vi vist at vi forstår formlikhet.

[Lektorn]

Problemet er at du ikke kan vite at det er et fast forhold mellom sidene i de to små trekantene før du har regnet ut $x$.
Derfor må du bruke et annet kriterium for å vise formlikhet (2 like vinkler). Når du har slått fast at trekantene er formlike kan du regne ut $x$.

[gohandomax]

Problemet er at du ikke kan vite at det er et fast forhold mellom sidene i de to små trekantene før du har regnet ut $x$.
Derfor må du bruke et annet kriterium for å vise formlikhet (2 like vinkler). Når du har slått fast at trekantene er formlike kan du regne ut $x$.

Det kan jeg selvsagt ikke, bøyer meg i støvet men da må jeg si meg enig med en tidligere skribent i dette innlegget; da kan vi like gjerne bruke konstruksjon fra R1 (men som du sier er det utenfor pensum. Nå kom jeg også over fasiten som noen har lenket til her, og det ser ikke ut som 1T-forfatterne har valgt å legge så mye vekt på å kunne bevise formlikheten. Så jeg ser det holder med min løsning, selv om jeg er enig med deg Lektorn.

[Lektorn]

Tok en titt på løsningsforslaget og det var mangelfullt ja..
Litt mer enn en en ren fasit, men ikke fullverdig svar f.eks. til eksamen eller en prøve/heldagsprøve.

[Gustav]

Nytt forslag som kun bygger på 1T-pensum:

La x=CD. $\angle C=90^\circ$ kun dersom arealet av trekanten ABC kan skrives på de to måtene $\frac{x\cdot AB}{2}$ og $\frac{AC\cdot CB}{2}$. Det eneste man behøver er Pytagoras, areal av trekant og abc-formelen.

(Må innrømme at å bruke formlikhet her var det siste jeg tenkte på da jeg så oppgaven. Også veldig tungvint dersom man skal vise det på riktig måte Jeg mener fortsatt at enkel "barnehagekonstruksjon" gir den enkleste og mest elegante løsningen.)

[Brahmagupta]

Alternativt ved Pytagoras:

$x^2+AD^2=AC^2$ og $x^2+BD^2=BC^2$ gir
$2x^2+AD^2+BD^2=(x^2+AD^2)+(x^2+BD^2)=AC^2+BC^2=AB^2$

$2x^2=AB^2-(AD^2+BD^2)=(AD+BD)^2-(AD^2+BD^2)=2AD\cdot BD$
$x=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{4\cdot 9}=6$

[JoachimN]

Tok en titt på løsningsforslaget og det var mangelfullt ja..
Litt mer enn en en ren fasit, men ikke fullverdig svar f.eks. til eksamen eller en prøve/heldagsprøve.

Jeg er veldig interessert i å forstå hva som er et fullverdig svar. Hva er det som mangler ved fasitsvaret?
Jeg spør ikke for å få ting servert på et fat, men for å forstå hva dere mener er fullverdig.

[stensrud]

Fikk ikke åpna Sinus sitt løsningsforslag, men: holder det ikke å forklare kort at trekanten som ønskes finnes, og dermed $ABC\sim ADC\sim CDB\implies \frac{4}{x}=\frac{x}{9}\implies x=6$. Eller var det det dere mente ikke holdt?

[Lektorn]

Hva er det som mangler ved fasitsvaret?

De hopper over grunnlaget for å sette opp likningen som løses i løsningsforslaget.

Først må du vise at de to små trekantene er formlike (begge er formlike med den store trekanten pga. 2 like vinkler; dermed er de 2 små også formlike).
Formlikhet gir at vi har et fast forhold mellom samsvarende sider i de to små trekantene.
Deretter er vel det som står i løsningsforslaget greit.

[JoachimN]

Hva er det som mangler ved fasitsvaret?

De hopper over grunnlaget for å sette opp likningen som løses i løsningsforslaget.

Først må du vise at de to små trekantene er formlike (begge er formlike med den store trekanten pga. 2 like vinkler; dermed er de 2 små også formlike).
Formlikhet gir at vi har et fast forhold mellom samsvarende sider i de to små trekantene.
Deretter er vel det som står i løsningsforslaget greit.

Flott, tusen takk, Lektorn. Etter mange års fravær fra matematikk sliter jeg litt med å komme inn i tankegangen, men en rød tråd her er vel å vise en forståelse av hva som er problemstillingen, fremfor å vise at man har memorert en formel.

[Lektorn]

Nytt forslag som kun bygger på 1T-pensum:

La x=CD. $\angle C=90^\circ$ kun dersom arealet av trekanten ABC kan skrives på de to måtene $\frac{x\cdot AB}{2}$ og $\frac{AC\cdot CB}{2}$. Det eneste man behøver er Pytagoras, areal av trekant og abc-formelen.

(Må innrømme at å bruke formlikhet her var det siste jeg tenkte på da jeg så oppgaven. Også veldig tungvint dersom man skal vise det på riktig måte Jeg mener fortsatt at enkel "barnehagekonstruksjon" gir den enkleste og mest elegante løsningen.)

Denne oppgaven kan helt klart løses på mange måter, og formlikhet er hverken den enkleste eller mest elegante.
Jeg mener man må se på hvor eleven er i pensum på skolen når oppgaven dukker opp og hva som er tema i kapitlet oppgaven hører til. Full metodefrihet er vel og bra men denne oppgaven er nok gitt med tanke på å øve seg på formlikhet.

Forøvrig er det å dele en rettvinklet trekant i 3 formlike trekanter ved å tegne inn en høyde, et viktig resultat/triks som er veldig lurt at elevene har sett før og forstår. F.eks. danner det grunnlaget for et klassisk bevis for pytagorassetningen (som kommer i R1).

[ivan]

Periferivinkel er perfekt til denne oppgaven, men det er ikke pensum i 1T (kommer i R1).

Men er det ikke pensum fra ungdomsskolen?
Og da kan det vel brukes?

Ivan

[Lektorn]

Er sentral- og periferivinkel virkelig pensum i ungdomsskolen?

[robinboy]

Er sentral- og periferivinkel virkelig pensum i ungdomsskolen?

jeg tenkte på Thales setning(eller det JEG kaller Thales setning), altså at periferivinkelen(?) er 90 grader hvis to av punktene i trekanten utgjør diameteren i en sirkel og det tredje punktet ligger på sirkelens periferi. Her kan jeg være begrepsforvirret, men det ville jeg brukt for å løse oppgaven. Og det tror jeg er pensum på ungdomsskolen. Det dukker opp på eksamen i ny og ne, og jeg underviser ihvertfall i det hvert år.

Ivan

[Lektorn]

OK, det visste jeg faktisk ikke. Det er nok den enkleste og mest elegante løsningen av oppgaven, men som sagt - tema for elevene som får oppgaven er nok formlikhet.