Derivasjon av trigonometrisk funksjon?

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg skal finne maksimum av følgende funksjon: [tex]L(x)=\frac{3}{sin(x)}+\frac{4}{cos(x)}[/tex]

Antar at man da må finne nullpunktet til den deriverte og det er hvor jeg får problemer.

Har derivert meg hit: [tex]-3\frac{cos(x)}{sin^2(x)}+4\frac{sin(x)}{cos^2(x)}[/tex]

Dette kan jo videre ganges ut slik at man får felles brøkstrek med [tex]cos^2(x)sin^2(x)[/tex], men føler ikke at jeg kommer videre av den grunn. Har prøvd å se etter noen trigonometriske identiteter som passer, men no luck.

Greien er vel at jeg må få dette faktorisert for å kunne finne null, men så langt ser ikke det så lovende ut. Noen ideer?

[Nebuchadnezzar]

Husk funksjonen din går mot uendelig der hvor $\sin x$ og $\cos x$ er null. Noe som skjer forholdsvis ofte.
Du har heller ikke oppgitt noe intervall. Sikker på at du ikke skal finne ut hvor funksjonen din er minst?

Uansett, sett uttrykket på felles brøkstrek da har en

$ \hspace{1cm}
4 \sin^3 x = 3 \cos^3 x
$

Dette er en likning som du kanskje klarer å løse?

[Johan Nes]

Husk funksjonen din går mot uendelig der hvor $\sin x$ og $\cos x$ er null. Noe som skjer forholdsvis ofte.
Du har heller ikke oppgitt noe intervall. Sikker på at du ikke skal finne ut hvor funksjonen din er minst?

L(x) representerer en linje eller en bjelke. Intervall er ikke oppgitt. Skal finne maksimal lengde på bjelken, så tenker at det er maksimum, ja.

Uansett, sett uttrykket på felles brøkstrek da har en

$ \hspace{1cm}
4 \sin^3 x = 3 \cos^3 x
$

Dette er en likning som du kanskje klarer å løse?

Skal prøve, men ikke hold pusten.

[Nebuchadnezzar]

Slik ser funksjonen din ut, så det virker vanskelig å finne noe maksimum uten ett invervall.
Derosm du ville hatt ett interval, ville maksimum ligge i endepunktene.

[Johan Nes]

Mulig jeg tenker feil da?

Legger ved oppgaven. Er ferdig med a), så holder på med b).

For meg var det logiske å finne [tex]L'(x)=0[/tex].

Oppgave4.png (29.16 KiB) Viewed 3570 times

[Nebuchadnezzar]

Du tenker nok litt feil. Når du deriverer og finner "maksimum" så finner du egentlig
bare den lengste stokken når du velger vinkelen fritt. Poenget er at denne stokken vil være for stor
til å komme seg rundt kanten. En har altså et derivasjonsproblem med en randbetingelse (se på det som lagrange)

Derimot om en er litt smart ser en at $L( \pi / 4 )$ er den største lengden stokken kan ha, hvorfor?

[Johan Nes]

Du tenker nok litt feil. Når du deriverer og finner "maksimum" så finner du egentlig
bare den lengste stokken når du velger vinkelen fritt. Poenget er at denne stokken vil være for stor
til å komme seg rundt kanten. En har altså et derivasjonsproblem med en randbetingelse (se på det som lagrange)

Men hva er randbetingelsen?

Jeg fant ut at det jeg egentlig må gjøre er jo å finne minimum.

Løste likningen du gav meg (tok den selv etter litt) og fant at [tex]x\approx 0.7375[/tex] og som satt inn i L(x) gir 9,87 m.

Er ikke det rett?

Derimot om en er litt smart ser en at $L( \pi / 4 )$ er den største lengden stokken kan ha, hvorfor?

Beklager, kamerat, men så smart er jeg ikke. Fortell gjerne hvordan?

Satt inn svaret ditt $L( \pi / 4 )$ og får tilnærmet det samme som jeg fikk.

[Johan Nes]

Trenger også hjelp med c) om du eller noen andre er i godt humør.

Trekker man en parallell linje 5 cm fra L(x) på tegningen ser man at lengden på bjelken vil bli forkortet med lengdene av katetene som har hosliggende vinkel x og motstående katet lik 5 cm. Jeg kalte disse L(x)3 og L(x)4 og mener på de skal være like lange.

L(x)3 = L(x)4 = 5/tan(x)

Da skulle det nye uttrykket for L(x) bli:

[tex]L(x)=\frac{3}{sin(x)}+\frac{4}{cos(x)}-\frac{10}{tan(x)}[/tex]

Så deriverte jeg uttrykket og fikk:[tex]L'(x)=\frac{-3cos(x)}{sin^2(x)}+\frac{4sin(x)}{cos^2(x)}+\frac{10tan^2(x)+10}{tan^2(x)}[/tex]

Det jeg da tenkte var å sette dette lik 0 og løse det med Newtons metode i MATLAB (fikk et hint om at det var lurt).

Er jeg da nødt til å derivere L'(x) enda en gang? Ettersom nevner i uttrykket for Newtons metode er derivert?

Altså, [tex]x_{1}=x_{0}-\frac{L'(x)}{L''(x)}[/tex]?


Innser nå at jeg har regnet med 5 cm = 5 m og det er jo feil, så må rette opp i det. Ellers lurer jeg på om tankegangen og fremgangsmåten er korrekt.

[Nebuchadnezzar]

Testet ut løsningene numerisk og du har rett. Dog klarer jeg ikke helt se hvorfor minimumet av funksjonen
er det mest optimale. For å se at du har funnet et minimum og ikke maksimum kan du for eksempel se at den
dobbelderiverte er null i punktet du fant. Ellers er det alltid greit å oppgi svarene sine eksakt :p

$
x^* = \arctan \sqrt[3]{6}/2 \quad \Rightarrow \quad L(x^*) = \frac{1}{2}\left( 4 + 6^{2/3} \right)^{3/2}
$

Tankemåten på siste oppgave burde bli rett ja =)

[Johan Nes]

Testet ut løsningene numerisk og du har rett. Dog klarer jeg ikke helt se hvorfor minimumet av funksjonen
er det mest optimale.

Nice. Skjønner det ikke helt selv om jeg skal være ærlig, men hørte med noen andre i klassen som hadde snakket med læreren og det var visst rett fremgangsmåte.

Code: Select all

Ellers er det alltid greit å oppgi svarene sine eksakt :p

$
   x^* = \arctan \sqrt[3]{6}/2 \quad \Rightarrow \quad L(x^*) = \frac{1}{2}\left( 4 + 6^{2/3} \right)^{3/2}
$

Hmmm...sliter litt med det, dessverre.

Tankemåten på siste oppgave burde bli rett ja =)

Kult.

Nevnte du hvordan du fant $L( \pi / 4 )$? Er det det eksakte svaret? Er ikke åpenbart for meg.

Skal se om jeg får gjort c) nå snart.