Kan denne likningen løses med penn og papir?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Heisann,

[tex]1-x*ln(x)=0[/tex]

Løser denne fint numerisk med Newtons metode og får [tex]x\approx 1.7632[/tex]
men kommer ingen vei med penn og papir. Går jeg glipp av noe?

Skal også forklare hvorfor likningen har nøyaktig ett nullpunkt om noen har noen tips til det. Har ikke funnet noen teorem i boken som jeg føler kan hjelpe meg til å forklare det.

Om det er av betydning, så er likningen ekvivalent med telleren til den deriverte av [tex]f(x)=\frac{ln(x)}{e^x}[/tex] med [tex]D_{f}=[1,3][/tex]
som er [tex]f'(x)=\frac{-x*ln(x)+1}{xe^x}[/tex]

Jeg vet at jeg kan bruke skjæringssetningen til å slå fast at en funksjon har minst ett nullpunkt. Men usikker på hvordan jeg kan vise at denne likningen har nøyaktig ett nullpunkt?

Kan man for eksempel vise at f(x)>0 for x<1.76 og f(x)<0 for x>1.76 og dermed har den kun ett nullpunkt? Usikker på om det gjaldt kun for [tex]D_{f}=[1,3][/tex].

Takker for svar. :D
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

Kan løses kvasi-analytisk vha Lamberts Omega-funksjon

[tex]1=x\ln(x)[/tex]

[tex]\ln(x)=x^{-1}[/tex]

[tex]x = exp(x^{-1})[/tex]

[tex]x*exp(-1/x) = 1[/tex]

[tex](1/x)*exp(1/x) = 1[/tex]

[tex]1/x = W(1)[/tex]

[tex]x = 1/W(1)\approx 1,76[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... log%281%29
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Takk, Janhaa. Så det samme selv på Wolfram tidligere.

Men tror kanskje dette er over/utenfor vårt pensum (kalkulus/matematikk 1000). Så da er det kanskje ment å løse den kun ved Newtons metode i den sammenheng?
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Johan Nes wrote:[tex]1-x*ln(x)=0[/tex]

Oppgaven spør: Hvorfor har denne likningen nøyaktig ett nullpunkt?

Jeg vet at jeg kan bruke skjæringssetningen til å slå fast at en funksjon har minst ett nullpunkt. Men hvordan kan jeg vise at denne likningen har nøyaktig ett nullpunkt?

Kan man for eksempel vise at f(x)>0 for x<1.76 og f(x)<0 for x>1.76 og dermed har den kun ett nullpunkt? Usikker på om det gjaldt kun for [tex]D_{f}=[1,3][/tex] eller om det var for hele den reelle tallinjen. Har vel kun ett nullpunkt uansett.
Noen ideer? Lærer hintet om at vi kunne bruke et teorem i boken, men mulig jeg misforstod. Finner ingen som passer. Kan jeg vise det ved å drøfte funksjonen?

Har jo alt brukt Newton og fant kun ett nullpunkt. :( Får ikke sove i natt. :shock:
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Vis at funksjonen er kontinuerlig, samt at den enten er monotont voksende, eller montont synkende + f(a)<0 og f(b)>0.
Ser du hvorfor disse to kravene holder?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Nebuchadnezzar wrote:Vis at funksjonen er kontinuerlig, samt at den enten er monotont voksende, eller montont synkende + f(a)<0 og f(b)>0.
Ser du hvorfor disse to kravene holder?
Vel, det er en elementærfunksjon, så da er det vel gitt at den er kontinuerlig.

Monotont voksende til 1/e (nullpunkt til den deriverte) og monotont avtagende for resten av definisjonsmengden.

Hvilket skulle vel tilsi at den ikke krysser x-aksen flere ganger enn ved x = 1.7632?
Post Reply