Kan denne likningen løses med penn og papir?

[Johan Nes]

Heisann,

[tex]1-x*ln(x)=0[/tex]

Løser denne fint numerisk med Newtons metode og får [tex]x\approx 1.7632[/tex]
men kommer ingen vei med penn og papir. Går jeg glipp av noe?

Skal også forklare hvorfor likningen har nøyaktig ett nullpunkt om noen har noen tips til det. Har ikke funnet noen teorem i boken som jeg føler kan hjelpe meg til å forklare det.

Om det er av betydning, så er likningen ekvivalent med telleren til den deriverte av [tex]f(x)=\frac{ln(x)}{e^x}[/tex] med [tex]D_{f}=[1,3][/tex]
som er [tex]f'(x)=\frac{-x*ln(x)+1}{xe^x}[/tex]

Jeg vet at jeg kan bruke skjæringssetningen til å slå fast at en funksjon har minst ett nullpunkt. Men usikker på hvordan jeg kan vise at denne likningen har nøyaktig ett nullpunkt?

Kan man for eksempel vise at f(x)>0 for x<1.76 og f(x)<0 for x>1.76 og dermed har den kun ett nullpunkt? Usikker på om det gjaldt kun for [tex]D_{f}=[1,3][/tex].

Takker for svar.

[Janhaa]

Kan løses kvasi-analytisk vha Lamberts Omega-funksjon

[tex]1=x\ln(x)[/tex]

[tex]\ln(x)=x^{-1}[/tex]

[tex]x = exp(x^{-1})[/tex]

[tex]x*exp(-1/x) = 1[/tex]

[tex](1/x)*exp(1/x) = 1[/tex]

[tex]1/x = W(1)[/tex]

[tex]x = 1/W(1)\approx 1,76[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... log%281%29

[Johan Nes]

Takk, Janhaa. Så det samme selv på Wolfram tidligere.

Men tror kanskje dette er over/utenfor vårt pensum (kalkulus/matematikk 1000). Så da er det kanskje ment å løse den kun ved Newtons metode i den sammenheng?

[Johan Nes]

[tex]1-x*ln(x)=0[/tex]

Oppgaven spør: Hvorfor har denne likningen nøyaktig ett nullpunkt?

Jeg vet at jeg kan bruke skjæringssetningen til å slå fast at en funksjon har minst ett nullpunkt. Men hvordan kan jeg vise at denne likningen har nøyaktig ett nullpunkt?

Kan man for eksempel vise at f(x)>0 for x<1.76 og f(x)<0 for x>1.76 og dermed har den kun ett nullpunkt? Usikker på om det gjaldt kun for [tex]D_{f}=[1,3][/tex] eller om det var for hele den reelle tallinjen. Har vel kun ett nullpunkt uansett.

Noen ideer? Lærer hintet om at vi kunne bruke et teorem i boken, men mulig jeg misforstod. Finner ingen som passer. Kan jeg vise det ved å drøfte funksjonen?

Har jo alt brukt Newton og fant kun ett nullpunkt. Får ikke sove i natt.

[Nebuchadnezzar]

Vis at funksjonen er kontinuerlig, samt at den enten er monotont voksende, eller montont synkende + f(a)<0 og f(b)>0.
Ser du hvorfor disse to kravene holder?

[Johan Nes]

Vis at funksjonen er kontinuerlig, samt at den enten er monotont voksende, eller montont synkende + f(a)<0 og f(b)>0.
Ser du hvorfor disse to kravene holder?

Vel, det er en elementærfunksjon, så da er det vel gitt at den er kontinuerlig.

Monotont voksende til 1/e (nullpunkt til den deriverte) og monotont avtagende for resten av definisjonsmengden.

Hvilket skulle vel tilsi at den ikke krysser x-aksen flere ganger enn ved x = 1.7632?