Integraler

[Johan Nes]

Heisann,

Kaller tråden for integraler ettersom jeg kanskje vil komme til å lure på flere, men i første omgang sliter jeg med dette:

[tex]\int cos^2xsin^2xdx[/tex]

Prøvde først med substitusjon og satte [tex]u=sin x[/tex], men kom ikke i mål.

Har nå forsøkt med delvis integrasjon, men kommer ikke helt i mål der heller.

Noen tips?

[Nebuchadnezzar]

$
\cos^m \theta \sin^m \theta = (\cos \theta \sin \theta)^m = \left( \frac{1}{2} \sin (2\theta) \right)^m = \frac{1}{2^m} \sin^m (2 \theta)
$

og $2 \sin^2 n \theta = 1 - \cos(2 n \theta) $ usw.

[Johan Nes]

Takk, Nebu, men forsto ikke det der helt uten videre.

Forresten. Hvor er det episke innlegget ditt om integraler som var klistret på VGS-forumet? Tenkte å bla gjennom det og søkefunksjonen her er ikke så enkel.

[Aleks855]

Det Nebu skriver gjelder for integralet ditt, der $m = 2$. Ellers bruker han bare noen grunnleggende trig-identiteter.

Anbefaler å bokmerke denne Wikien: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... identities

Det er en uvurderlig side for å skrive om trig-uttrykk for å gjøre blant annet integraler lettere.

[Nebuchadnezzar]

Bruk de to "reglene" ovenfor og uttrykk integralet ditt via $\cos 4 \theta$. Deretter kan du integrere direkte
eller bruke substitusjon. Litt usikker på hvor det forsvant, lenge siden jeg styrte med det. Holder jo på med
http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/Integral/, men den er et stykke fra å være ferdigskrevet.

[Johan Nes]

Takk, begge to. Skal se om jeg forstår noe av det nå.

Vet ikke om jeg har sett den regelen i pensum.

[Johan Nes]

Vel, jeg har forsøkt litt til, men uten hell. Finnes det en enklere måte å gjøre det på enn du foreslår, Nebu? Har nemlig ikke sett noe i nærheten av den omskrivingen du gjør i pensum, så det gjør meg litt usikker.

Jeg har forsøkt følgende:

[tex]\int cos^2xsin^2xdx[/tex]

Setter [tex]u=sinx[/tex], [tex]u'=cosx[/tex] og [tex]du = cosxdx[/tex].

[tex]cos^2x=1-sin^2x = 1-u^2[/tex]

[tex]\int (1-u^2)u^2dx[/tex]

[tex]\int u^2-u^4dx[/tex]

Og der sier det stopp.

Eventuelt:

[tex]\int u'*u^2*u'dx[/tex]

[tex]\int u'*u^2du[/tex]

Men der sier det vel også stopp.

Er jeg helt ute og sykler?

Kan oppgaven enkelt løses ved delvis integrasjon? Oppgaven er i en bolk med oppgaver med delvis integrasjon. Har begynt på det, men slik jeg ser det får jeg et ganske hårete integral igjen, så føler ikke det er optimal strategi heller.

[Nebuchadnezzar]

Bruker du $u \mapsto \sin x$ så er $\mathrm{d}u = \cos x \mathrm{d}x$ og $\cos x = \sqrt{1 - u^2}$. Med andre ord får du
$ \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x = \int u^2 \sqrt{1-u^2}\,\mathrm{d}u$ som ikke er lettere å integrere.

----------------------------------------------------------

Formelene jeg oppgav skal være kjent fra videregående, så de burde stå i margen av matteboken din

$ \hspace{1cm}
\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos 4x}{2} \,\mathrm{d}x
$

osv. Herfra regner jeg med det burde gå fint?

----------------------------------------------------------

Delvis kan funke, men den blir nok en del vanskeligere enn regningen ovenfor.
Vi vet at $\sin^2x \cos^2x = [ \sin x \cdot \cos x] \cdot [\sin x \cdot \cos x]$
La nå $u = \sin x \cdot \cos x$, $u' = \cos^2x - \sin^2x$. Tilsvarende
$v' = \sin x \cdot \cos x$, $v = - \frac12 \cos^2x$. Hvor jeg overlater mellomregningene til deg. Da blir

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
\color{red}{\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x}
& = \sin x \cos x \cdot \left( - \frac12 \cos^2x \right)
- \color{blue}{\biggl[ } \int \left( \cos^2x - \sin^2x \right) \cdot \left( - \frac12 \cos^2x \right) \,\mathrm{d}x \color{blue}{\biggr] } \\
& =- \frac12 \sin x \cos^3x - \color{blue}{\biggl[ } \frac{1}{2} \color{red}{ \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x } - \int \frac{1}{2} \cos^4 x \color{blue}{\biggr] }
\end{align*}
$

Ved å legge til det røde integralet på begge sider, får en da

$
\hspace{1cm}
\frac{3}{2} \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= -\frac{1}{2} \sin x \cos^3 x + \frac{1}{2} \int \cos^4 x \,\mathrm{d}x
$

Hvor det siste integralet igjen kan løses via delvis integrasjon, eller reduksjonsformler, eller å bare bruke de trigonometriske identitene igjen

$ \hspace{1cm}
\cos^4x
= [\cos^2x]^2
= \left[ \frac{1 + \cos 2x}{2} \right]^2
= \cdots
= \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{3}{8}
$

usw. Hvor igjen du kan fylle inn $\cdots$

[Johan Nes]

Formelene jeg oppgav skal være kjent fra videregående, så de burde stå i margen av matteboken din

Er du helt sikker på det?

Har nettopp bladd gjennom R2-boken min og så vidt jeg kan se har vi kun enhetsformelen og sum/differanse av vinkler.

I kalkulusboken (Matematikk for Ingeniører) er det en god del flere identiteter i margen, men ser ikke formelen du gir meg, så sant den ikke er utledet av en av de som står der da.

$ \hspace{1cm}
\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos 4x}{2} \,\mathrm{d}x
$

osv. Herfra regner jeg med det burde gå fint?

Går helt strålende. Takk for hjelpen!

Tror jeg dropper den delvise integrasjonen i denne omgang.

[Johan Nes]

Fant denne på siden Aleks linket til og brukte den. Blir jo det samme, men forstår ikke helt den du tar:

[Nebuchadnezzar]

Du må klare å tenke selv, virker som du kun er ute etter formler og spesifikke fremmgangsmåter.
Slik er ikke integrasjon, matematikk poå høyere nivå, eller livet generelt. Du må kunne noen verktøy/formler
og å sette disse sammen på egenhånd. Om du bare satser på slaviske fremgangsmåter og rutiner kommer du snart til å møte veggen.

Hvertfall i Tom Lindstrøms bok, kalkulus og Adams står formelene i permen. Uansett

$
\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x
$

To stykker som MÅ sitte er følgende

$\sin( A + B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A$,
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Er i utgangspunktet disse to
pluss enhetsformelen en MÅ kunne for å utlede de fleste andre formler.
sett $A = B = x$ i øverste, da får en $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, deretter del på $2$.

Ved å sette $A=B=x$ i nederste likning fås
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = (1-\sin^2x) - \sin^2x = 1 - 2 \sin^2x$. Evnt
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = \cos^2x - ( 1 - \cos^2x ) = 2 \cos^2x - 1$.
Som kan løses med hensyn på $\cos^2x$ og $\sin^2x$. Så

$
\cos^2(x) = \frac{ 1 + \cos 2x }{ 2 } \quad \text{og} \quad \sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$

Hvor huskeregelen min for disse formlene er at $\cos^2x + \sin^2x = 1$. Ved å kombinere
de to reglene får vi

$
[\sin x \cos x]^2 = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]^2 = \frac{1}{4} \sin^2(2x) = \frac{1}{4}\left[ \frac{1-\cos 2\cdot 2x}{2} \right] = \frac{1 - \cos 4x}{8}
$

Om $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2(x)$ så må nødvendigvis $\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 (2x)$

[Johan Nes]

Du må klare å tenke selv, virker som du kun er ute etter formler og spesifikke fremmgangsmåter.
Slik er ikke integrasjon, matematikk poå høyere nivå, eller livet generelt. Du må kunne noen verktøy/formler
og å sette disse sammen på egenhånd. Om du bare satser på slaviske fremgangsmåter og rutiner kommer du snart til å møte veggen.

Enig. Og nei, jeg er faktisk ute etter å forstå, men jeg opplever det som vanskelig og krevende. Hadde jeg ikke ville forstått, hadde jeg ikke spurt og maset så mye som jeg gjør.

Uansett

$
\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x
$

To stykker som MÅ sitte er følgende

$\sin( A + B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A$,
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Er i utgangspunktet disse to
pluss enhetsformelen en MÅ kunne for å utlede de fleste andre formler.
sett $A = B = x$ i øverste, da får en $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, deretter del på $2$.

Ved å sette $A=B=x$ i nederste likning fås
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = (1-\sin^2x) - \sin^2x = 1 - 2 \sin^2x$. Evnt
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = \cos^2x - ( 1 - \cos^2x ) = 2 \cos^2x - 1$.
Som kan løses med hensyn på $\cos^2x$ og $\sin^2x$. Så

$
\cos^2(x) = \frac{ 1 + \cos 2x }{ 2 } \quad \text{og} \quad \sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$

Hvor huskeregelen min for disse formlene er at $\cos^2x + \sin^2x = 1$. Ved å kombinere
de to reglene får vi

$
[\sin x \cos x]^2 = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]^2 = \frac{1}{4} \sin^2(2x) = \frac{1}{4}\left[ \frac{1-\cos 2\cdot 2x}{2} \right] = \frac{1 - \cos 4x}{8}
$

Om $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2(x)$ så må nødvendigvis $\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 (2x)$

Hjertelig takk for den. Skal skrives ned.

[Johan Nes]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\sqrt{cos^3t+sin(3t)}dt[/tex]

Noen tips på dette?

Øvre grense er x og nedre grense er 0. Betyr det at jeg først må foreta meg et variabelbytte i integralet fra t til x, deretter regne ut det bestemte integralet og så se om grenseverdien til [tex]\frac{1}{x}[/tex] ganger det bestemte integralet eksisterer?

Skal se om jeg greier å løse det integralet nå, men fikk det ikke til med en gang.

EDIT: La inn integralet på en kalkulator og får opp at det ikke har løsning. Tror det er en første for min del. Hvordan ser jeg det?

[Nebuchadnezzar]

Merk at du har et 0/0 uttrykk, så du kan regne ut grenseverdien ved å bruke l'hôpital i kombinasjon
med analysens fundamentalteoren.

Dersom $g(x) = \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t$ da er $g'(x) = f(x)$.

Merk at de ikke sier at du skal regne ut integralet, bare bestemme grenseverdien =)

[Johan Nes]

Hmmm...

Kan jeg da skrive det slik?

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)}{x}[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g'(x)}{1}[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)[/tex]

Og så setter jeg inn for 0 i [tex]f(x)=\sqrt{cos^3(x)+sin(3x)}[/tex]? Og finner at f(0) = 1?

Eller er jeg ute og sykler? Hodet mitt verker.