Bruker du $u \mapsto \sin x$ så er $\mathrm{d}u = \cos x \mathrm{d}x$ og $\cos x = \sqrt{1 - u^2}$. Med andre ord får du
$ \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x = \int u^2 \sqrt{1-u^2}\,\mathrm{d}u$ som ikke er lettere å integrere.
----------------------------------------------------------
Formelene jeg oppgav skal være kjent fra videregående, så de burde stå i margen av matteboken din
$ \hspace{1cm}
\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos 4x}{2} \,\mathrm{d}x
$
osv. Herfra regner jeg med det burde gå fint?
----------------------------------------------------------
Delvis kan funke, men den blir nok en del vanskeligere enn regningen ovenfor.
Vi vet at $\sin^2x \cos^2x = [ \sin x \cdot \cos x] \cdot [\sin x \cdot \cos x]$
La nå $u = \sin x \cdot \cos x$, $u' = \cos^2x - \sin^2x$. Tilsvarende
$v' = \sin x \cdot \cos x$, $v = - \frac12 \cos^2x$. Hvor jeg overlater mellomregningene til deg. Da blir
$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
\color{red}{\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x}
& = \sin x \cos x \cdot \left( - \frac12 \cos^2x \right)
- \color{blue}{\biggl[ } \int \left( \cos^2x - \sin^2x \right) \cdot \left( - \frac12 \cos^2x \right) \,\mathrm{d}x \color{blue}{\biggr] } \\
& =- \frac12 \sin x \cos^3x - \color{blue}{\biggl[ } \frac{1}{2} \color{red}{ \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x } - \int \frac{1}{2} \cos^4 x \color{blue}{\biggr] }
\end{align*}
$
Ved å legge til det røde integralet på begge sider, får en da
$
\hspace{1cm}
\frac{3}{2} \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= -\frac{1}{2} \sin x \cos^3 x + \frac{1}{2} \int \cos^4 x \,\mathrm{d}x
$
Hvor det siste integralet igjen kan løses via delvis integrasjon, eller reduksjonsformler, eller å bare bruke de trigonometriske identitene igjen
$ \hspace{1cm}
\cos^4x
= [\cos^2x]^2
= \left[ \frac{1 + \cos 2x}{2} \right]^2
= \cdots
= \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{3}{8}
$
usw. Hvor igjen du kan fylle inn $\cdots$
