Praktisk bruk av difflikninger

[TVS (vg3)]

Hei

Jeg har forstått difflikninger hvordan man regner med enkle difflikninger, men når det kommer til praktisk bruk har jeg ikke helt forstått hvorfor vi bruker difflikninger.

En bakteriekultur inneholder 10 000 bakterier. Vekstfarten målt i bakterier per time er på ethvert tidspunkt 20% av bakterietallet.
a) Finn et uttrykk for bakterietallet y etter t timer.

Svar: y' = 0,20 *y --> y = 10 000 * e^0,20t

Jeg lurer på hvordan man kommer frem til " y' = 0,2y " (Forklar at y må være en løsning av difflikningen y' = 0,2y)?

En ting til:
Er det på grunn av e og vekstraten (rentersrente) at man heller bruker difflikninger i slike oppgaver enn eksponensiallikninger ( y = 10 000 * 0,2^x)?

[Lektorn]

y = y(t): antall bakterier ved tiden t
y' = dy/dt: endringen av antall bakterier per tidsenhet

Endringen i bakterietallet per time = +20% av gjeldente bakterietall
y' = 0,2 y

Prøv å sett inn noen t-verdier i de to likningene du foreslår, så ser du at du får ut forskjellige verdier. Skjønner du hvorfor?

[Guest]

y = y(t): antall bakterier ved tiden t
y' = dy/dt: endringen av antall bakterier per tidsenhet

Endringen i bakterietallet per time = +20% av gjeldente bakterietall
y' = 0,2 y

Prøv å sett inn noen t-verdier i de to likningene du foreslår, så ser du at du får ut forskjellige verdier. Skjønner du hvorfor?

Takk for raskt svar!

Jeg ser at verdiene er større i difflikningen enn i eksponensiallikningen (y = 10 000 * 1,2^x), og regner med at det er grunnet renters rente? Er det hele poenget bak å bruke differensiallikninger i slike oppgaver?

[Lektorn]

Nja, det eksemplet du har er en veldig enkel DL. Det finnes nok litt mer avanserte oppsett som du ikke får til med en standard likning for eksponentiell vekst. F.eks. hvis du legger inn i din oppgave at bakterieantallet flater ut på 500000.

[Guest]

OK!

Jeg lurer på en ting til ang. første spørsmål:
Hvis jeg setter inn t = 1 i y(t) får jeg:

y(1) = 10 000 * e^0,2*1 = 12 214

Ifølge den første likningen skal da endringen i antall bakterier være på:

y' = 0,2y = 0,2 * 12 214 = 2 442

mens endringen fra y(0) til y(1) er på 2 214!? Hva er feil her?

[Lektorn]

y'(1) gir deg momentan vekstfart for t=1, mens endringen fra t=0 til t=1 gir deg gjennomsnittlig vekstfart.