Integral R2

[hallapaadeg]

skjønner ikkje helt hvor jeg failer her:

Skal finne det ubestemte integralet av $\int \frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}dx$

Jeg prøver å løse dette ved variabelskifte:

$u=e^x+1$ => $\frac{du}{dx}=e^x$ => $dx=\frac{du}{e^x}$

$\int \frac{e^x}{u^2}\frac{du}{e^x}=\int \frac{1}{u^2}du$ som blir

$\frac{1}{-2+1}{u}^{-2+1}+C=\frac{1}{-1}{u}^{-1}+C=-\frac{1}{e^x+1}+C$ men det blir jo feil i forhold til fasiten som sier at svaret er $\frac{e^x}{e^x+1}$

Anyone? sikkert ganske grei forklaring på det

[Nebuchadnezzar]

Det er begge som har rett.

$\frac{e^x}{1+e^x}+C=\frac{(1+e^x)-1}{1+e^x}+C=1-\frac{1}{1+e^x}+C=-\frac{1}{1+e^x}+C$

[hallapaadeg]

Hmm I see. Men hvorfor klarer ikke GeoGebra å tegne grafen likt for begge ?

[Realist1]

Hvis du følger omregningen til Nebu så ser du at C i den ene løsningen ikke er den samme som C i den andre løsningen.

[hallapaadeg]

Aha! Slik har jeg ikke tenkt på det før ) Takk!

[Nebuchadnezzar]

Og merk at konstanten C forsvinner når en deriverer svarene (da den deriverte av en konstant er null).
Med andre ord så vil alle anti-deriverte til en funksjon $F$, høyst avike med en konstant. Så dersom
$G^{\prime }(x)=f(x)$ og $F^{\prime }(x)=f(x)$ så vil $G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=C$ hvor $C$ er en konstant. Dette ser du og greit ut i fra figuren din.