Dobbelintegral- Grunnleggende spm

[Skviseteoremet1]

[tex]\iint_{D=x^2+y^2+z^2=a^2}^{}[/tex][tex]x dV=0[/tex]

Hvorfor er dette lik null? SKal ha noe med at x er en odde funksjon, men jeg ser det ikke for meg. Samme spørsmål gjelder for y.
Takk

[Nebuchadnezzar]

Det er nok litt enklere om du ser deg et tilsvarende eksempel i en dimensjon.
$\int_{-a}^a x \,\mathrm{d}x = 0$
Side4n området til venstre for x aksen og område til høyre for x-aksen er like store men med motsatt verdi.
Det samme skjer for ditt integral. Du kan jo også bare stille opp integralet i sylinderkoordinater
og se at svaret virkelig blir null. Altså om du trenger treningen.

[Skviseteoremet1]

Det er nok litt enklere om du ser deg et tilsvarende eksempel i en dimensjon.
$\int_{-a}^a x \,\mathrm{d}x = 0$
Side4n området til venstre for x aksen og område til høyre for x-aksen er like store men med motsatt verdi.
Det samme skjer for ditt integral. Du kan jo også bare stille opp integralet i sylinderkoordinater
og se at svaret virkelig blir null. Altså om du trenger treningen.

Ok, takk. Ville grensene da se slik ut med sylinderkoord?

[tex]0\leq r\leq a[/tex]
[tex]0\leq \Theta \leq 2\Pi[/tex]
[tex]0\leq z\leq a[/tex]

Er ikke sfæriske koordinater best for sfæriske geometrier?

[Nebuchadnezzar]

Jo selvsagt, var ute på en liten fest. Sfæriske er selvsagt best, og det var bare en feilstavelse. Ser riktig ut i sylinder, men ikke ta meg på ordet for det. Er mest komfortabel med å skrive slike integraler i sfæriske

$ \hspace{1cm}
\iiint_S x \,\mathrm{d}V
= \int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^1 ( r \sin \theta \cos \varphi) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta
$

Det eneste vesentlige i integralet er jo $\int_0^{\pi} \cos \varphi \,\mathrm{d}\varphi$. Som basically er det samme som $\int_{-1}^{1} x \,\mathrm{d}x$.
Via for eksempel $\varphi \mapsto u + \pi/2$.

[Skviseteoremet1]

Hehe, tusen takk! Gir mening