Håper dere har en bedre lørdagskveld enn meg.

Løs initialverdiproblemet [tex]2xy'=cos (y), y(1)=0 for x>0[/tex].
Dette er vel en separabel differensiallikning om jeg ikke ser feil? Jeg skriver om slik:
[tex]2xy'=cos(y)[/tex]
[tex]y'=\frac{1}{2x}cos(y)[/tex]
[tex]\int \frac{1}{cos(y)}dy=\frac{1}{2x}dx[/tex]
Integralet på venstre side var en liten nøtt. Har googlet litt og finner at dette tilsvarer [tex]sec (y)[/tex], men vi har egentlig ikke lært noe om den identiteten, så jeg droppet det og skrev det heller om ved å gange med [tex]cos (y)[/tex] oppe og nede, deretter enhetsformel i nevner slik at vi har [tex]\int \frac{cos (y)}{1-sin^2(y)}[/tex]. Løser denne ved hjelp av substitusjonen [tex]u=sin(y)[/tex].
Jeg orker faktisk ikke texe resten her, men om jeg har gjort rett, noe jeg tror, skal vi stå igjen med følgende på hver side:
[tex]\frac{1}{2}ln\frac{(1+sin(y))}{(1-sin(y)}=ln(2x)+C[/tex]
Ganger med 2 på begge sider (er vel lov, men kanskje ikke lurt?), opphøyer dette i e og får da
[tex]\frac{1+sin(y)}{1-sin(y)}=4x^2*e^C=C4x 2[/tex]
Rett så langt? Meget usikker. Men i så fall kan jeg jo gange ut dette uttrykket og få sin (y) alene (takk Lektor) slik:
[tex]sin(y)=\frac{C4x^2-1}{C4x^2+1}[/tex]
Men jeg skal jo ha y alene. Kan jeg da gange inn arc sin? På hver side?

Men om så er lov, og arc sin og sin "kansellerer" hverandre, vil jeg da få:
[tex]y(x)=arcsin\frac{(C4x^2-1)}{(C4x^2+1)}[/tex]
Prøver initialbetingelsene og ser:
[tex]0=arcsin\frac{C4*1^2-1}{C4*1^2+1}=\frac{C4-1}{C4+1}[/tex]
Da må vel C være 1/4?
Og vi står igjen med
[tex]y(x)=arcsin\frac{x^2-1}{x^2+1}[/tex]
Som jo er nesten samme svar som fasit. I fasit er det ikke noen eksponent i x. Så noe feil har jeg gjort.

Noen som kan korrigere meg og gi noen innspill?

På forhånd takk og god lørdag.