R2- Trigonometri

[ThomasSkas]

Hei, jeg skal forberede meg til heldagsprøve i R2 som jeg skal ha neste onsdag.
Det fører til at jeg kommer til å ha en del spørsmål spesielt innenfor trigonometri og omskriving av uttrykk.

Her er den første oppgaven:

Vis at [tex]\sin (\frac{v}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos v}{2}}[/tex]

Jeg har ikke kommet noe på vei, men prøvde litt med:

[tex]sin(\frac{v}{4}+\frac{v}{4})=sin(\frac{v}{4})\cdot cos(\frac{v}{4})+cos(\frac{v}{4})\cdot sin(\frac{v}{4})[/tex]

Jeg ser av svaret at her må det nok lures inn med enhetsformelen? I tillegg kan jeg se at v i cosinus under roten er 2 ganger større.
Hjelp

[Nebuchadnezzar]

Tja, vet jo at

$ \hspace{1cm}
\cos 2x = (\cos x)^2 - (\sin x)^2 = 1 - 2 (\sin x)^2
$

Hvor første overgang kommer fra dobbel-identitene og siste fra enhetsformelen.
Ser du veien videre nå ?

[ThomasSkas]

Tja, vet jo at

$ \hspace{1cm}
\cos 2x = (\cos x)^2 - (\sin x)^2 = 1 - 2 (\sin x)^2
$

Hvor første overgang kommer fra dobbel-identitene og siste fra enhetsformelen.
Ser du veien videre nå ?

Ja, jeg tror jeg ser det??

[tex]cos(2x)=1-sin^2x[/tex]

[tex]2sin^2x=1-cos(2x)[/tex]

[tex]\sin x=\pm \sqrt{\frac{1-cos(2x)}{2}}[/tex]

Likner mye på svaret, bortsett fra at 2x er under rota og x er alene. Men det er vel nok ekvivalent med det som står som at vi skal vise? for x er tross alt to ganger større en x/2... men du må nok gjøre enda et trinn her?

[Nebuchadnezzar]

En er jo som du sier egentlig ferdig. For å gjøre det siste
steget kan du jo sette $ u = x/2$. Men det er jo like riktig å bytte ut $x$ med $x/2$. Alternativt kan du jo begynne med

$ \hspace{1cm}
\cos( x/2 + x/2) = \cos^2(x/2) - \sin^2(x/2) = 1 - 2 \sin^2(x/2)
$

Men dette betyr jo at en må arbeide med brøker som ingen liker =)

[ThomasSkas]

En er jo som du sier egentlig ferdig. For å gjøre det siste
steget kan du jo sette $ u = x/2$. Men det er jo like riktig å bytte ut $x$ med $x/2$. Alternativt kan du jo begynne med

$ \hspace{1cm}
\cos( x/2 + x/2) = \cos^2(x/2) - \sin^2(x/2) = 1 - 2 \sin^2(x/2)
$

Men dette betyr jo at en må arbeide med brøker som ingen liker =)

Jeg skjønner. Jeg fikk det til. Men hvordan kan man egentlig komme på å bruke summen av vinkler for cosinus og ikke sinus? Det er tross alt den jeg skal finne

Og en ting til, enhetsformelen. Den sier jo at [tex]sin^2x+cos^2x=1[/tex]

Er det gyldig hvis man f. eks erstatter x med noe annet? Kan man f. eks si at [tex]sin^2(\frac{x}{2})+cos^2(\frac{x}{2})=1[/tex]
hehe, den virker kanskje dum, men jeg har alltid lurt på det.

[Nebuchadnezzar]

$\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1$ holder for alle relle $x$, altså uansett hva du putter inn.
Om du setter $x = u/2$ eller $x = \pi u$, så dekker jo vi den samme mengden siden vi putter inn alle de reelle tallene.

Hvordan en kommer frem til det er en blanding av prøving og feiling samt å ha sett liknende former før. I henhold til integrasjon
er det nyttig at formelene

$
\cos^2(x) = \frac{ 1 + \cos 2x }{2} \qquad \sin^2(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$

Hvor huskeregelen er at når du legger de sammen får du en, for å huske hvor minustegnet skal være får du finne din egen huskeregel =)