Kan noen hjelpe meg med å vise at:
Hvis H er et subset av en gruppe G, a,b elementer i H, så er H en subgruppe av G hvis og bare hvis a*b[sup]-1[/sup] er et element i H. (b[sup]-1[/sup] er inversen til b)
Grupper og undergrupper
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For at H skal være en undergruppe av G, må vi ha (per definisjon av en gruppe):
1) H har at neutralt element e (dvs. e*a=a*e=a for alle a i H)
2) For alle a og b i H: a*b er i H
3) For alle a i H: a har et invers element i H (dvs det eksisterer et element c i H slik at a*c=c*a=e; skriver c=a^{-1})
Hvis H er en undergruppe av G, da har vi for alle a, b i H:
b^{-1} er et element i H ved 3) og a*b^{-1} er et element i H ved 2)
Omvendt: Anta at for alle elementer a, b i H gjelder: a*{b}^{-1} i H.
Må sjekke at 1)-3) holder:
1) For alle a i H: e=a*a^{-1} i H. (Merk at H har det samme neutrale elementet som G.)
3)For alle a i H: a^{-1}=e*a^{-1} i H
2) For alle a og b i H: a*b=a*(b^{-1})^{-1} i H.
Dermed er 1)-3) oppfylt, altså er H en gruppe (undergruppe av G).
Hadde ikke mye tid nå, hvis det er noe som er uforståelig bare spør mer.
1) H har at neutralt element e (dvs. e*a=a*e=a for alle a i H)
2) For alle a og b i H: a*b er i H
3) For alle a i H: a har et invers element i H (dvs det eksisterer et element c i H slik at a*c=c*a=e; skriver c=a^{-1})
Hvis H er en undergruppe av G, da har vi for alle a, b i H:
b^{-1} er et element i H ved 3) og a*b^{-1} er et element i H ved 2)
Omvendt: Anta at for alle elementer a, b i H gjelder: a*{b}^{-1} i H.
Må sjekke at 1)-3) holder:
1) For alle a i H: e=a*a^{-1} i H. (Merk at H har det samme neutrale elementet som G.)
3)For alle a i H: a^{-1}=e*a^{-1} i H
2) For alle a og b i H: a*b=a*(b^{-1})^{-1} i H.
Dermed er 1)-3) oppfylt, altså er H en gruppe (undergruppe av G).
Hadde ikke mye tid nå, hvis det er noe som er uforståelig bare spør mer.
Hei igjen.
Det jeg mente var: Finnes det noen måte, når man vet at H er et subset (ikke subgruppe, men subset) å vise at H er en subgruppe av G når man vet at a, b og ab[sup]-1[/sup] er element i H?
Dvs, vil ab[sup]-1[/sup] når det er med i H og H er et subset av en gruppe G implisere de tre gruppe/subgruppeaksiomene (1. assosivitet, 2. id elt 3. invers)?
Det jeg mente var: Finnes det noen måte, når man vet at H er et subset (ikke subgruppe, men subset) å vise at H er en subgruppe av G når man vet at a, b og ab[sup]-1[/sup] er element i H?
Dvs, vil ab[sup]-1[/sup] når det er med i H og H er et subset av en gruppe G implisere de tre gruppe/subgruppeaksiomene (1. assosivitet, 2. id elt 3. invers)?
Last edited by agadius on 05/05-2012 20:31, edited 1 time in total.
Jeg noterer a[sup]-1[/sup] med a'. Jeg forstår det som at du kun vil ha bevis for implikasjonen ab' i H --> H undergruppe. Siden det står hvis og bare hvis i oppg må du jo vise begge veier for å være ferdig, men vi kan ta denne:
Anta ab' i H for a,b i H.
1) Siden a,b vilkårlige elementer i H, og G en gruppe, vet vi at a,b har inverser i G. Antagelsen gir at aa' og a'a er et element i H, men siden G en gruppe er aa'=e=a'a, så identitetelementet er med i H.
2)Igjen siden a,b vilkårlige elementer i H, har a og b inverser i G.
Under antagelsen ab' i H er også ba' i H, men da har vi
(ab')(ba')=e=(ba')(ab')
så invers-elementet i H.
3)Må vise lukkethet av operasjonen. La a,b være elementer i H. Da har vi
ab=a (b')'
men under antagelsen er a(b')' i H, altså er operasjonen lukket, og dermed H en undergruppe av G.
Da har vi vist den ene implikasjonen, så kan du prøve på den andre.
Anta ab' i H for a,b i H.
1) Siden a,b vilkårlige elementer i H, og G en gruppe, vet vi at a,b har inverser i G. Antagelsen gir at aa' og a'a er et element i H, men siden G en gruppe er aa'=e=a'a, så identitetelementet er med i H.
2)Igjen siden a,b vilkårlige elementer i H, har a og b inverser i G.
Under antagelsen ab' i H er også ba' i H, men da har vi
(ab')(ba')=e=(ba')(ab')
så invers-elementet i H.
3)Må vise lukkethet av operasjonen. La a,b være elementer i H. Da har vi
ab=a (b')'
men under antagelsen er a(b')' i H, altså er operasjonen lukket, og dermed H en undergruppe av G.
Da har vi vist den ene implikasjonen, så kan du prøve på den andre.
Det jeg viste var jo: For en undermengde (subset) H av en gruppe G gjelder:
H er en undergruppe av G hvis og bare hvis for alle elementer a, b i H: a*b^{-1} er med i H.
Spesielt vil "a*b^{-1} i H for alle a,b i H" implisere at H oppfyller alle 3 gruppeaksiomene.
H er en undergruppe av G hvis og bare hvis for alle elementer a, b i H: a*b^{-1} er med i H.
Spesielt vil "a*b^{-1} i H for alle a,b i H" implisere at H oppfyller alle 3 gruppeaksiomene.
Hva mener du med at de "utfører samme operasjon"?
Hvis du for eksempel tar gruppen av rotasjonene og speilingene for en likesidet trekant (denne gruppen er isomorf med S_3, permutasjonsgruppen), da danner for eksempel de 2 rotasjonene plus identitetselement (det elementet som verken speiler eller roterer noe) en undergruppe.
Hvis du for eksempel tar gruppen av rotasjonene og speilingene for en likesidet trekant (denne gruppen er isomorf med S_3, permutasjonsgruppen), da danner for eksempel de 2 rotasjonene plus identitetselement (det elementet som verken speiler eller roterer noe) en undergruppe.