Variabelskifte i dobbelintegral

[Forvirret student]

Hei, sliter litt med oppgaven nedenfor.

Jeg har fått oppgitt de tre punktene (0,0), (1,1) og (2,0) og vil finne område ved hjelp av variabelskifte, men sliter litt med å finne den nedre grensen til u.

Er det noen som har en enkel metode/tankegang for å lett finne et godt variabelskifte og de nye grenseverdiene?

https://www.dropbox.com/s/1s5ranz0rrbzi ... n.jpg?dl=0

På forhånd takk!

[euklid]

Hei, sliter litt med oppgaven nedenfor.

Jeg har fått oppgitt de tre punktene (0,0), (1,1) og (2,0) og vil finne område ved hjelp av variabelskifte, men sliter litt med å finne den nedre grensen til u.

Er det noen som har en enkel metode/tankegang for å lett finne et godt variabelskifte og de nye grenseverdiene?

https://www.dropbox.com/s/1s5ranz0rrbzi ... n.jpg?dl=0

På forhånd takk!

Hei,

Siden du valgte [tex]u=x+y[/tex] og [tex]v=x-y[/tex] får man [tex]x=\frac{u+v}{2}[/tex] og [tex]y=\frac{u-v}{2}[/tex].

Ideen nå er at området ditt er en trekant avgrenset av linjene [tex]y=0[/tex], [tex]y=x[/tex] og [tex]y=2-x[/tex] i [tex](x,y)[/tex]-koordinatsystemet.
Så uttrykker man dem i [tex](u,v)[/tex]-koordinatsystemet. Da vil man få tre linjer:

Linja [tex]y=x[/tex] gir linja [tex]v=0[/tex].
Linja [tex]y=0[/tex] gir linja [tex]v=u[/tex].
Linja [tex]y=2-x[/tex] gir linja [tex]u=2[/tex].

Tegner man disse linjene ser man at området ditt er avgrenset slik at [tex]0\leq u\leq 2[/tex] og [tex]0\leq v\leq u[/tex].
Deretter kan du regne ut selve dobbeltintegraler med Jacobideterminanten osv.

Ideen bak en substitusjon er egentlig at man definerer en avbildning [tex](x,y)\rightarrow (u(x,y),v(x,y))[/tex]. Denne av avbildningen endrer koordinatet ditt i forhold til u og v istedenfor. Tegn deretter bildet til avbildningen for å se området uttrykt ved u og v.