Kvadrering av komplekse tall

[stensrud]

Oppgaven lyder som følger:

"Suppose that the sum of the squares of two complex numbers $x$ and $y$ is $7$ and the sum of the cubes is $10$. What is the largest real value that $x + y$ can have?"

Ikke oppgaven i seg selv som jeg lurer på, men noe som stod i fasiten:

Let $x=a+bi$ and $y=c+di$.
Because we are looking for a value of $x+y$ that is real, we know that $d=-b$, and thus $y=c-bi$.

Jeg forstår ikke hvorfor man kan konkludere med at $d=-b$, i hvertfall ikke på måten det er gjort ovenfor. Det ser ut som det utnyttes at $x+y\in \mathbb{R}$, og da er jo saken grei, men kan man se dette såpass fort ut i fra de opplysningene som er gitt i oppgaveteksten?

EDIT: Det jeg gjorde selv først var å se på første likning: $(a+bi)^2+(c+di)^2=7$. Fra denne vet jeg at de imaginære delene kanselerer hverandre, altså at $2abi=-2cdi\implies ab=-cd$. Samme med andre likning, hvor jeg fikk et tilsvarende resultat på samme måte. Følte ikke at dette hjalp meg noe særlig, og ser heller ikke at det impliserer $d=-b$.

[Lektorn]

Du får vel 4 likninger med 4 ukjent (a, b, c og d) når du setter opp de to opplysningen i oppgaven?
Hver opplysning gir 2 likninger; en for realdelen og en for imaginærdelen.

PS. Er dette X-matte?

[Brahmagupta]

Oppgaven spør etter den største reelle verdien $x+y$ kan ha. Det vil si at vi kun er interessert i løsninger som
gjør summen $x+y$ reell. Dermed er det lurt å gjøre antagelsen om at $x+y=(a+c)+(b+d)i\in\mathbb{R}$, hvilket
medfører at $b+d=0$. Slik fasiten er skrevet blir dette da en antagelse og ikke noe vi deduserer ut fra
informasjonen gitt!

Det viser seg faktisk at $x+y$ i alle tilfeller må være reell. Dette kan ses ut fra en alternativ løsningsmetode
som unngår å skrive $x=a+bi$ og $y=c+di$. La $s=x+y$ og observer at
\[10=x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=(x+y)(7-\frac12((x+y)^2-(x^2+y^2)))=s(7-\frac12(s^2-7))\]
som reduseres til ligningen $s^3-21s+20=0$. Det er lett å se at vi har en løsning $s=1$ og ved standard
polynomdivisjon og løsning av en andregradsligning finner vi de to andre røttene $s=4$ og $s=-5$. Det følger
nå at i alle tilfeller må $s$ være reell og videre at den største verdien er $s=4$.

[stensrud]

Oppgaven spør etter den største reelle verdien $x+y$ kan ha. Det vil si at vi kun er interessert i løsninger som
gjør summen $x+y$ reell.

Hvorfor er det nødvendigvis slik at løsninger som ikke gjør $x+y$ reell ikke kan maksimere den reelle verdien til $x+y$? Beklager om jeg spør om trivielle ting her, men komplekse tall er ganske nytt for meg

PS. Er dette X-matte?

Nope, AIME-oppgave.

[Brahmagupta]

Det virker som du har misforstått oppgaveteksten litt. Med 'real value' menes det ikke den reelle delen av det
komplekse tallet $x+y$. I dette tilfellet bruker man 'real part' i stedet, eventuelt $Re(x+y)$. Det vil si at
oppgaveteksten faktisk spør etter løsningen som gjør $x+y$ reell og maksimerer denne reelle verdien.

[stensrud]

Åja! Men da ble jo alt mye enklere Tusen takk for hjelpen.