Induksjonsbevis

[Privatist_01]

Jeg har jobber med oppgaven 2.292 i Cosinus R2, men forstår lite eller ingenting av oppgaven. Før jeg begynte med oppgavene kikket jeg gjennom noen eksempler hos Lektor Thue, men han bruker kun rekker i eksemplene sine. Det er litt uklart for meg hvordan jeg skal arbeide med disse oppgavene. Jeg har prøvd meg en del, men finner ingen god løsning på det. Vet forsåvidt heller ikke hvordan jeg skal begynne.

Kjenner til at man først sjekker om det stemmer for [tex]n = 1[/tex], noe jeg har gjort. Etter det skal jeg jo sjekke for [tex]x = k[/tex] og [tex]x = k+1[/tex], men jeg vet ikke helt hvordan jeg skal gjøre dette på papiret.

Oppgaven lyder:

Vis ved induksjon at

[tex]({ x }^{ -n })'=-n{ x }^{ -n-1 }[/tex]

Håper noen har tid, ork og mot til å hjelpe meg litt!

Takk!

[Nebuchadnezzar]

Usikker på om du har gjor base steget riktig, men i hvertfall en skisse går som følger.
Vi tester om formelen stemmer for $n=1$, da er venstre side (VS)

$ \hspace{1cm}
\left(x^{-1}\right)' = \lim_{h \to 0} \frac{ 1/x + 1/(x+h) }{h} = -\lim_{h \to 0} \frac{1}{x(x+h)} = -x^{-2}
$

HS er da $-1x^{-1-1}$ og siden VS og HS er like stemmer påstanden for grunntilfellet.
Anta at det stemmer for en tilfeldig $n$, la oss gi denne navnet $k$. Med andre ord la oss anta at likningen holder for $n=k$.

$ \hspace{1cm}
\left( x^{-k} \right)' = -k x^{-k-1}
$

Målet blir å bruke dette til å bevise at formelen holder for $k+1$ ved å bruke at det stemmer for $k$. For $n=k+1$ har vi

$ \hspace{1cm}
\left( x^{-k-1} \right)' = \left( x^{-1} \cdot x^{-k} \right)'
$

Herfra kan du bruke produktregelen til å komme i mål. Hva skjer da?
*Selvsagt er det og mulig å vise dette uten produktregelen, men da blir regningen mer innviklet (en må da bruke definisjonen og binomialformelen)
og det vil normalt ikke være forventet.

[Privatist_01]

Tusen takk for raskt og utfyllende svar!

Beklager at jeg ikke helt tar hva jeg skal gjøre her.

Skal jeg løse [tex]({ x }^{ -k-1 })′=({ x }^{ -1 }\cdot { x }^{ -k })′[/tex] med hensyn på x?

Veldig usikker og muligens helt på jordet her.

[Nebuchadnezzar]

Det endelige målet ditt er å vise at formelen stemmer for $n=k+1$

$ \hspace{1cm}
\left({ x }^{ -(k+1)}\right)' = -(k+1) x^{-(k+1)-1}
$

Gitt at den stemmer for $n=k$. (Gang ut for å se at det er nøyaktig det samme jeg har skevet. Og for å komme deg dit må du
skrive om

$ \hspace{1cm}
\left({ x }^{ -(k+1)}\right)'
$

På en finurlig måte slik at du kan bruke $(x^{-k})' = -k x^{-k-1}$, altså antakelsen om at $n=k$ (induksjonshypotesen). For å gjøre dette skriver vi om uttrykket som følger

$ \hspace{1cm}
\left({ x }^{ -(k+1) }\right)' = \left( x^{-1} \cdot { x }^{ -k}\right)'
$

Merk at dette bare er en algebraisk overgang, her har vi ikke brukt noe som helst. Bare at $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$, hvor $a =x$, $b = -k$ og $c=-1$
er du usikker her kan du sette inn tall for $x$ og $k$ og overbevise deg om at overgangen er gyldig.

Grunnen til at jeg velger akkuratt denne omskrivningen er at det begynner å likne på $(x^{-k})'$. Herfra må vi manipulere uttrykket videre slik at vi tilslutt ender på $-(k+1) x^{-(k+1)-1}$.
Bruk derfor produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ på $x^{-1} \cdot { x }^{ -k}$ for å komme deg videre. Og deretter kan du bruke induksjonshypotesen for å komme deg helt i mål.