Volume, omdreining, ellipse

[Jerry]

A barrel has the shape of a solid of revolution obtained by rotating about its major axis the part of an ellipse lying between lines through its foci, perpendicular to that axis. The barrel is 4 ft. high and 2 ft. in radius at its middle. What is its volume?

[Solar Plexsus]

Plasser denne ellipsen i et ortonormert koordinatssystem med sentrum i (0,0) og de to brennpunktene i (-c,0) og (c,0) (c>0). La 2a og 2b være hhv. lengden av ellipsens store og lille akse (dvs. at likningen for ellipsen er x[sup]2[/sup]/a[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]/b[sup]2[/sup] = 1). Ettersom radien i tønna er 2 på midten, må b=2. Videre er tønnas høyde 4, så 2c=4. M.a.o. er c=2, som igjen gir

a[sup]2[/sup] = b[sup]2[/sup] + c[sup]2[/sup] = 2[sup]2[/sup] + 2[sup]2[/sup] = 4 + 4 = 8.

Dermed blir likningen for ellipsen

x[sup]2[/sup]/8 + y[sup]2[/sup]/4 = 1,

som igjen er ekvivalent med

y[sup]2[/sup] = 4 - x[sup]2[/sup]/2.

Dermed blir volumet V av tønna

V = [pi][/pi][itgl][/itgl]y[sup]2[/sup] dx ... x=-2->2

= [pi][/pi][itgl][/itgl]4 - x[sup]2[/sup]/2 dx ... x=-2->2

= [pi][/pi] [4x - x[sup]3[/sup]/6] ... x=-2->2

= 40[pi][/pi]/3.