Hva betyr beviset? Fasit sier
A = f''xx(x,y) = -4
B = f''xy(x,y) = -2
C = f''yy(x,y) = -2
AC - B^2 = (-4)(-2) - (-2)^2 = 4 > 0
A = -4 < 0
Dermed er (x,y) = (10,20) et maksimum.
Skjønner ikke sammenhengen AC - B^2, heller ikke at punktet (10,20) er et maksimumspunkt fordi AC-B^2=4 og A=-4. Kan noen forklare er jeg takknemlig!
Bevis for maksimumspunkt for f(x,y)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Gitt et punkt (a,b) tar en for seg andrederivertmatrisen i punktet. Hvis alle egenverdiene til matrisen (Hessian) er positive i punktet, har funksjonen et lokalt minimum. Omvendt for bare negative egenverdier. Testen kan generaliseres til flere enn 2 variabler.
[tex]i \cdot i \cdot i \cdot i = i \cdot i \cdot (-1) = (-1) \cdot (-1) = 1[/tex]
Takk for behjelpelig svar hittil! Forsto noe av det du skriver Norm, men noe teoretisk for mitt nivå.
Madfro, litt info:
En bedrift produserer samme vare i to fabrikker. Den samlede fortjenesten ved å produsere og
selge x enheter produsert i fabrikk 1 og y enheter produsert i fabrikk 2 er:
f(x,y) = -2x^2 -2xy -y^2 + 80x + 60y -250
Hvor mye må bedriften produsere i de to fabrikkene for å maksimere fortjenesten? Visatdetduharfunneteretmaksimumspunktfor f(x,y).Hvablirdenmaksimale
fortjenesten?
f'x(x,y) = -4x -2y +80
f'y(x,y) = -2x -2y +60
I: -4x -2y +80 = 0
II: -2x -2y +60 = 0
I-II: -2x +20 = 0 --> x = 10
II: -2 * 10 -2y +60 = 0 --> y = 20
Dette er helt greit. Det er verre med beviset
A = f''xx(x,y) = -4
B = f''xy(x,y) = -2
C = f''yy(x,y) = -2
AC - B^2 = (-4)(-2) - (-2)^2 = 4 > 0
A = -4 < 0
Dermed er (x,y) = (10,20) et maksimum.
Fortjenesten blir: f(10,20) = 750
Madfro, litt info:
En bedrift produserer samme vare i to fabrikker. Den samlede fortjenesten ved å produsere og
selge x enheter produsert i fabrikk 1 og y enheter produsert i fabrikk 2 er:
f(x,y) = -2x^2 -2xy -y^2 + 80x + 60y -250
Hvor mye må bedriften produsere i de to fabrikkene for å maksimere fortjenesten? Visatdetduharfunneteretmaksimumspunktfor f(x,y).Hvablirdenmaksimale
fortjenesten?
f'x(x,y) = -4x -2y +80
f'y(x,y) = -2x -2y +60
I: -4x -2y +80 = 0
II: -2x -2y +60 = 0
I-II: -2x +20 = 0 --> x = 10
II: -2 * 10 -2y +60 = 0 --> y = 20
Dette er helt greit. Det er verre med beviset
A = f''xx(x,y) = -4
B = f''xy(x,y) = -2
C = f''yy(x,y) = -2
AC - B^2 = (-4)(-2) - (-2)^2 = 4 > 0
A = -4 < 0
Dermed er (x,y) = (10,20) et maksimum.
Fortjenesten blir: f(10,20) = 750
For eksempel:
[tex]f(x,y) = x^{3}y + y^{2} + C[/tex]
[tex]\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y) = f_{xy}'' = f_{yx}'' = \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}f(x,y) = 3x^{2}[/tex]
At de blanda andrederiverte er like holder for de fleste funksjoner, med noen 'patologiske unntak'.
Som du sikkert vet derfinerer [tex]AC - B^{2}[/tex] determinanten til en 2 x 2 matrise. Det finnes også et resultat om at determinanten er lik produktet av egenverdier til matrisen. Siden determinanten er positiv, må enten begge egenverdiene være negative eller begge positive. At en matrise har bare positive egenverdier kalles å være positiv definitt, motsatt negativ definitt. For den til å være det (positiv definitt), må også [tex]A > 0[/tex]. Hvis det er tilfellet, har du et lokalt minimum. Din [tex]A < 0[/tex], så begge egenverdiene er negative og du har et lokalt maximum. Jeg vet bare hvordan jeg skal gjøre det for egenverdiene, for den metoden kan brukes for matriser av alle størrelser, dvs. flere variable, så beklager teknikalitetene.
[tex]f(x,y) = x^{3}y + y^{2} + C[/tex]
[tex]\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y) = f_{xy}'' = f_{yx}'' = \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}f(x,y) = 3x^{2}[/tex]
At de blanda andrederiverte er like holder for de fleste funksjoner, med noen 'patologiske unntak'.
Som du sikkert vet derfinerer [tex]AC - B^{2}[/tex] determinanten til en 2 x 2 matrise. Det finnes også et resultat om at determinanten er lik produktet av egenverdier til matrisen. Siden determinanten er positiv, må enten begge egenverdiene være negative eller begge positive. At en matrise har bare positive egenverdier kalles å være positiv definitt, motsatt negativ definitt. For den til å være det (positiv definitt), må også [tex]A > 0[/tex]. Hvis det er tilfellet, har du et lokalt minimum. Din [tex]A < 0[/tex], så begge egenverdiene er negative og du har et lokalt maximum. Jeg vet bare hvordan jeg skal gjøre det for egenverdiene, for den metoden kan brukes for matriser av alle størrelser, dvs. flere variable, så beklager teknikalitetene.
[tex]i \cdot i \cdot i \cdot i = i \cdot i \cdot (-1) = (-1) \cdot (-1) = 1[/tex]
Det finnes sikkert en enklere måte, men ved å bruke ABC-formelen får jeg at egenverdiene er
[tex]\frac{A + C \pm \sqrt{(A + B)^{2} - 4(AC - B^{2})}}{2}[/tex]
som sikkert kan forkortes og gjøres enklere.
[tex]\frac{A + C \pm \sqrt{(A + B)^{2} - 4(AC - B^{2})}}{2}[/tex]
som sikkert kan forkortes og gjøres enklere.
[tex]i \cdot i \cdot i \cdot i = i \cdot i \cdot (-1) = (-1) \cdot (-1) = 1[/tex]