Ekstremalverdier

[Jerry]

Find the three positive numbers a, b og c, whose sum is 30 and for which the expression ab[sup]2[/sup]c[sup]3[/sup] is maximum.

Snodig?

[ingentingg]

Dette er et lagrangeproblem.
Max/Min med 3 variabler. Og en bibetingelse

Betingelsen er at g: a+b+c = 30

Funksjonen som skal maksimeres er f: ab^2c^3

Funksjonen har da maks der hvor:

grad(f) - k(grad(g)) = 0 k kalles lagrangekonstant. Betegnes ofte med lambda

Denne vektorlikningen gir disse tre likningene:

df/da = k*dg/da
df/db = k*dg/db
df/dc = k*dg/dc

Løs dem og sjekk hvilken verdi som er størst

[Jerry]

Åi, Lagrange har jeg ikke vært borti enda, det har så langt ikke vært nevnt i boka, men ser det kommer to delkapitler, så det er mulig at vi skal prøve å løse denne på en annen måte? Delkapitlet den er fra er om Hessianmatrisen..

[ingentingg]

Viss du har om Hessiske matrise har du sikkert hatt om max,min problematikken og. Det er jo et av bruksområdene til den Hessiske matrisa, siden fortegnet til egenverdiene sier noe om hvorvidt det er max,min eller sadelpunkt.

viss du ikke har hatt om lagrange kan du løse det som et vanlig max, min problem.

[Jerry]

Kan noen vise meg hvordan jeg gjør det uten Lagrange?

[Solar Plexsus]

En måte å gjøre det på, er å erstatte a med 30 - b - c i funksjonsuttrykket. Dermed får du at funksjonen som skal maksimeres blir

g(b,c) = (30 - b - c)b[sup]2[/sup]c[sup]3[/sup] der b>0, c>0 og b + c < 30.

Ved å partiellderivere g og sette [part][/part]g/[part][/part]a = [part][/part]g/[part][/part]b = 0, ender du opp med likningssystemet

3b + 2c = 60
3b + 4c = 90.

Dette har løsningen b=10 og c=15 (som gir a=30-10-15=5). Vi observerer at når b->0[sup]+[/sup], c->0[sup]+[/sup] eller b + c -> 30[sup]-[/sup], vil g(b,c) -> 0[sup]+[/sup]. Dermed kan vi konkludere med at g har sitt maksimum for a=5, b=10 og c=15.

[Guest]

Hadde satt pris på å se partiellderivasjonen, og hvorfor sette du de lik 0? Gir ikke gradientvektoren maksimum "av seg selv"? Og hvordan kan man partiellderivere de to mhp. a og b når uttrykket ikke inneholder a lengre?

(...)Ved å partiellderivere g og sette [part][/part]g/[part][/part]a = [part][/part]g/[part][/part]b = 0, ender du opp med likningssystemet

3b + 2c = 60
3b + 4c = 90.

[Solar Plexsus]

Beklager! Det skal selvsagt ikke være [part][/part]g/[part][/part]a, men [part][/part]g/[part][/part]c.

[Jerry]

Takk, nå fikk jeg det til.