Bevisføring kvadratall (R1)

[VG1A]

Oppgaven lyder slik: Kvadrattallene er 1, 4, 9, 16, 25...,[tex]n^2[/tex],...
Vis at hvis x er et kvadrattall og y er et kvadrattall, så er x * y et kvadrattall

Altså x og y begge kvadrattall [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x*y=kvadratall[/tex]
Dette stemmer jo f.eks. [tex]4*9=36[/tex][tex][tex][/tex]men må klare å bevise for alle generelle tall.

Jeg tenker slik:

[tex]x^{2}*y^2=n^{2}[/tex]
x og y er vell begge hele tall. dermed er x*x = et helt tall og samme med y*y= helt tall. Således er også [tex]x^{2}*y^2 er lik helt tall Det må vell bety at helt tall = n^{2}[/tex]
men dersom n^"2 er et helt tall er også n et helt tall fordi n*n = helt tall. men jeg skulle jo bevise at dersom x og y er kvadrattall så er faktoren et kvadratall
jeg skjønner ikke hvordan man går fram her?

[Guest]

Oppgaven lyder slik: Kvadrattallene er 1, 4, 9, 16, 25...,[tex]n^2[/tex],...
Vis at hvis x er et kvadrattall og y er et kvadrattall, så er x * y et kvadrattall

Altså x og y begge kvadrattall [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x*y=kvadratall[/tex]
Dette stemmer jo f.eks. [tex]4*9=36[/tex][tex][tex][/tex]men må klare å bevise for alle generelle tall.

Jeg tenker slik:

[tex]x^{2}*y^2=n^{2}[/tex]
x og y er vell begge hele tall. dermed er x*x = et helt tall og samme med y*y= helt tall. Således er også [tex]x^{2}*y^2 er lik helt tall Det må vell bety at helt tall = n^{2}[/tex]
men dersom n^"2 er et helt tall er også n et helt tall fordi n*n = helt tall. men jeg skulle jo bevise at dersom x og y er kvadrattall så er faktoren et kvadratall
jeg skjønner ikke hvordan man går fram her?

Du er jo godt i gang, men jeg tror ikke du skal tenke for mye på hele tall. Bevis kan alltid være litt ekle fordi du tenker mer avansert enn du nødvendigvis trenger. Hvis [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] er to kvadrattall f.eks [tex]x_1^2[/tex] og [tex]y_1^2[/tex] (hvor [tex]x_1[/tex] og [tex]y_1[/tex] er faktorene til kvadrattallet så f.eks hvis y = 9 så er [tex]y_1[/tex] = 3)

Så skal du gange sammen disse tallene og se hva du får [tex]x_1^2 \cdot y_1^2 = ?[/tex] Hvor dette skal være et kvadrattall, altså et tall på formen [tex]n^2[/tex].
Nå kan vi jo bare prøve og se hva vi får.

[tex]x \cdot y = x_1^2 \cdot y_1^2 = (x_1 \cdot y_1)^2 = n^2[/tex] hvor jeg kaller [tex]x_1 \cdot y_1 = n[/tex] og dermed har du vist at de to kvadrattallene x og y ganget sammen gir et annet kvadrattall (som har produktet av faktorene til x og y som faktorer selv, men det er ikke så viktig) og du har bevist det du var ute etter å bevise .

men jeg skulle jo bevise at dersom x og y er kvadrattall så er faktoren et kvadratall

Du skulle vise at hvis x og y var kvadrattall så er produktet et kvadrattall. Faktoren har ingen ting med saken å gjøre.