Faktorisering-enhetsrot

[stensrud]

Har på følelsen at dette er trivielt, men klarer likevel ikke å verifisere at
$$x^p-1=(x-\zeta)(x-\zeta^2)...(x-\zeta^p)$$
hvor $\zeta$ er den $p$'te enhetsrot. Kunne noen hjulpet meg?

[Nebuchadnezzar]

Er vel en liten skrivefeil, skulle nok ha stått $\zeta^{p-1}$ i den siste parentesen. I mine øyne er dette trivielt ja.
Det følger direkte fra analysens fundamentalteorem som sier at ethvert komplekst polynom av grad $n$ har nøyaktig $n$ røtter
og at polynomet kan skrives som et produkt av lineære polynomer

$
\hspace{1cm}
f(z) = \prod_{k=0}^{n-1} \bigr( z - a_k\bigl)
$

Å vise at røttene ligger på enhetssirkelen og er sykliske er hakket mer utfordrende. Nå vet vi altså at

$ \hspace{1cm}
z^p - 1 = \prod_{k = 0}^{n - 1} (z - \omega_k)
$

Siden alle røttene løser oppfyller $\zeta^k -1 = 0 $ må alle røttene ligge på enhetssirkelen (siden ved å legge til 1 får vi $\zeta^k = 1$). Dermed
så er $\omega_k = \zeta^k$ som ønsket.

[Gustav]

Har på følelsen at dette er trivielt, men klarer likevel ikke å verifisere at
$$x^p-1=(x-\zeta)(x-\zeta^2)...(x-\zeta^p)$$
hvor $\zeta$ er den $p$'te enhetsrot. Kunne noen hjulpet meg?

Røttene er gitt ved $x^p=1$. Hvis vi tar absoluttverdien ser vi at vi må ha at $|x|=1$, altså ligger røttene på enhetssirkelen (slik nebu sa). Dermed vil røttene være på formen $x_j=e^{i\theta_j}$. Innsatt fås $e^{ip\theta_j}=1$. Det er klart at denne likningen har løsningene $p\theta_j=2\pi j$ der $j\in\mathbb{Z}$, altså er $\theta_j=\frac{2\pi j}{p}$ der $j\in [0,p-1]$ $p$ distinkte røtter (her kunne vi like gjerne bruke $j\in [1,p]$ for å få det på samme form som stensrud). Fra faktorteormet er altså $x^p-1=\prod_{j=0}^{p-1}(x-(e^{\frac{2\pi i}{p}})^j)$. (der $\zeta=e^{\frac{2\pi i}{p}}$) (eller ekvivalent $x^p-1=\prod_{j=1}^{p}(x-(e^{\frac{2\pi i}{p}})^j)$)

Edit: det er forresten viktig å understreke at $\zeta$ må være en primitiv p-te enhetsrot, ellers risikerer vi å få repeterte røtter

[stensrud]

Takk for forklaringen(e)! Skjønner at dette er trivielt nå ja. Bare for å være helt sikker:
- Er alle de p-te enhetsrøttene, utenom 1, primitive, når p er et primtall?
- Hvis $\zeta$ er en primitiv p'te enhetsrot (p er ikke nødvendigvis et primtall); er alle de $p-1$ andre p'te enhetsrøttene da $\in\{1,\zeta^{p-1},...,\zeta^3,\zeta^2\}$?

[Gustav]

Takk for forklaringen(e)! Skjønner at dette er trivielt nå ja. Bare for å være helt sikker:
- Er alle de p-te enhetsrøttene, utenom 1, primitive, når p er et primtall?

Ja. Antall primitive røtter = eulers phi-funksjon, dermed følger det du sier.

- Hvis $\zeta$ er en primitiv p'te enhetsrot (p er ikke nødvendigvis et primtall); er alle de $p-1$ andre p'te enhetsrøttene da $\in\{1,\zeta^{p-1},...,\zeta^3,\zeta^2\}$?

Ja.

https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity