En induksjonsoppgave

[Dolanemort]

Hei

Jeg har problemer med å forstå en oppgave i induksjon som lyder slik:

a) Regn ut 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, 1+3+5+7+9. Lag en hypotese om summen av de n første oddetallene.
b) Bevis hypotesen din.

Det jeg ikke helt skjønner er hvordan jeg skal sette det opp og bruke induksjon på det. Så langt har oppgavene vært satt opp fra før av, men denne gangen må man sette det opp selv.

Dolan

[Guest]

Hei

Jeg har problemer med å forstå en oppgave i induksjon som lyder slik:

a) Regn ut 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, 1+3+5+7+9. Lag en hypotese om summen av de n første oddetallene.
b) Bevis hypotesen din.

Det jeg ikke helt skjønner er hvordan jeg skal sette det opp og bruke induksjon på det. Så langt har oppgavene vært satt opp fra før av, men denne gangen må man sette det opp selv.

Dolan

Jeg skal hjelpe deg om du ikke får det til, men jeg vil gjerne at du viser meg at du har prøvd litt selv først. Det vanskeligste er som du selv påpeker å sette opp ett uttrykk som du kan bevise så oppgaven gir deg et lite hint om hvordan du kan gjøre dette. Prøv å regne ut de 4 første leddene i følgen.

[tex]1 = 1, 1+3 = 4, 1+3+5 = 9, 1+3+5+7 = 16 ...[/tex] enig? Ser disse tallene kjente ut for deg [tex]1, 4, 9, 16 ...[/tex]?
Klarer du nå å finne en generell formel for det n-te leddet i følgen? (noe på formen [tex]a_n = n[/tex] eller noe sånt)
Et siste hint kan være at følgen 1,4,9,16 ... kan du også skrive som n, 2n, 3n, 4n ... hvor n er nummeret i følgen. Klarer du nå å finne en litt mer generell formel for det n-te leddet?

Når det kommer til induksjon skal jeg gi deg en bakeoppskrift:
1 - Test uttrykket for det første leddet i følgen din.
2 - Hvis 1) var godkjent, anta at formelen din holder helt opp til et tilfeldig tall k. Forsøk nå å bevise formelen for det neste leddet k+1.
3 - Hvis 2) var godkjent gir induksjonsprinsippet deg at formelen er bevist for alle n.

Får du det til nå?

[Dolanemort]

Det jeg skjønte var at An = n². Er dette riktig?

Men er litt forvirret angående om hvordan jeg skal gå videre.

Dolan

[Guest]

Det jeg skjønte var at An = n². Er dette riktig?

Men er litt forvirret angående om hvordan jeg skal gå videre.

Dolan

Det er riktig nå må du bevise det ved å bruke de stegene jeg viste deg. Bevis at det n-te leddet i følgen er [tex]n^2[/tex].
-Sjekk først for n=1, [tex]1^2 = 1[/tex]. Det samme som første ledd i følgen 1, 4, 9, 16... Så formelen funker for n=1.
-Anta at det funker for n=2, n=3, n=4 ... n=k. Prøv nå å bevise at formelen for k+1. Dette har du garantert gjort før hvis du har løst noen induksjonsoppgaver, men tror ikke jeg kan gi deg flere hint uten å gjøre oppgaven for deg så jeg gjør like så godt bare oppgaven for deg.

1, 1+3, 1+3+5 ... vil si at det n-te leddet vil være på formen 1+3+5+... + (2k+1) = k^2. Hvor [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] og (2n+1) er det n-te oddetallet. prøv nå å bevise for k+1.


Du vet at [tex]1+3+5... +(2k+1) = k^2[/tex]

[tex]1+3+5 ... + (2k+1) + (2(k+1)+1) = (k+1)^2[/tex]
[tex]k^2 + 2(k+1) + 1 = (k+1)^2[/tex]
Dette ser du bare er bakvendt første kvadratsetning og dermed har du bevist det ved induksjon.

Selvfølgelig når du skal gjøre oppgaven selv må du være mer formell enn det jeg var, jeg ville bare vise deg matten ikke den formelle føringen.

[Dolanemort]

Tusen takk for hjelpen!

Dolan