Skjæringssetningen

[Heiheihallo]

Driver med oppgave angående skjæringssetningen.
Skal vise at [tex]e^{-x} = x[/tex] er et punkt på (0,1).
Setter [tex]f(x) = e^{-x}-x = \frac{1}{e^{x}}-x[/tex].

Vet at det må være et punkt f(c) mellom f(a) og f(b).
Finner følgende:
f(1) = -0,63
f(0) = 1


Hvordan kan jeg så vise at
f(1) < f(c) < f(0) ?
Vet ikke helt hva jeg må gjøre videre.
Er det jeg har gjort riktig så langt?

[Gustav]

Du er nesten i mål. Det eneste som gjenstår er konklusjonen om at det må eksistere en 0<c<1 slik at f(c)=0. Det følger av kontinuiteten til f(x) samt skjæringssetningen.

[Heiheihallo]

Hvorfor må f(c) være lik null?
Kan det ikke være hva som helst, så lenge det er mellom f(1) og f(0)?

[Fibonacci92]

Jeg antar at du ønsker å vise at det finnes en t slik at e^t = t.

Det er det samme som at e^t-t = 0.

Derfor ønsker du å vise at det finnes nullpunkter til funksjonen f(x) = e^x-x.

At f.eks. e^x - x = 0.4 har en løsning hjelper deg ikke. Det sier bare at det finnes en t slik at e^t = t + 0.4, som ikke var det vi ville ha.

[Gustav]

At det fins en c slik at f(c)=0 er ekvivalent med at c er en løsning på likningen $e^{-x}=x$.

Hva denne verdien c er, får vi dog ikke noe svar på. Hensikten med skjæringssetningen er å bevise eksistensen av en løsning, ikke å finne løsningen eksplisitt. Det eneste vi kan si her er at c ligger mellom 0 og 1.