Deriverbarhet vs Kontinuitet

[ThomasSkas]

Hallais! Lenge siden sist nå.

Jeg kom over følgende interessant oppgave, som jeg lurer litt på:

Vis at dersom en funksjon er deriverbar, er den også kontinuerlig. Vis med et moteksempel
at det motsatte ikke holder (det vil si at kontinuitet ikke medfører deriverbarhet).

Jeg vet at det er nødvendig at en funksjon er kontinuerlig for x=a, for at den skal være deriverbar for x=a.
Altså, hvis en funksjon f(x) ikke er kontinuerlig for x=a, så er den heller ikke deriverbar.

[Gustav]

Jeg vet at det er nødvendig at en funksjon er kontinuerlig for x=a, for at den skal være deriverbar for x=a.
Altså, hvis en funksjon f(x) ikke er kontinuerlig for x=a, så er den heller ikke deriverbar.

Hint: Proof by contradiction. La f(x) være deriverbar. Anta at f(x) ikke er kontinuerlig. Da er f(x) diskontinuerlig i et punkt x=a. Herfra kan du bruke $\epsilon - \delta$- definisjonen av kontinuitet i et punkt for å komme frem til en selvmotsigelse.

[ThomasSkas]

[tex]\lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)[/tex]

Vi har at

[tex]\lim_{h->0}(f(x+h)-f(x))=\lim_{h->0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h})(h)=(f'(x))(0)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \lim_{h->0}f(x+h)=f(x)[/tex]

Hehe, vet ikke as, bare prøvde noe her.

[ThomasSkas]

[tex]\lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)[/tex]

Vi har at

[tex]\lim_{h->0}(f(x+h)-f(x))=\lim_{h->0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h})(h)=(f'(x))(0)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \lim_{h->0}f(x+h)=f(x)[/tex]

Hehe, vet ikke as, bare prøvde noe her.

Eller helt på jordet?
Jeg skjønte ikke helt det du mente, Plutarco.

[Nebuchadnezzar]

Du er nok dessverre helt på jordet. Det ser ut som du ganger med h bare på ene siden? Gjør du algebraen riktig får du

$\lim_{h \to 0} f(x+h) - f(x) = \lim_{h \to 0} h f ' (x)$

Som selvsagt er riktig, men det hjelpe deg nok dessverre ingenting med oppgaven.

===========================================

Anta vi ønsker å vise Deriverbarhet $\not\Leftarrow$ kontinuerlig.

Her holder det å finne et mot-eksempel som plutarco nevnte. Kommer du på en funksjon
som er kontinuerlig i et punkt, men ikke deriverbar? Hint: Dette vil visuelt være funksjoner som har en knekk.

===========================================

Anta vi ønsker å vise Deriverbarhet $\Rightarrow$ kontinuerlig.
Tanken her er nok å bruke mean value theorem (middelverdisetningen).
Dersom $f(x)$ er en deriverbar funksjon på intervallet $I = [a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$
så eksisterer det et punkt $c \in (a,b)$ slik at

$ \hspace{1cm}
f'(c) = \frac{ f(a) - f(b) }{ a - b }
$

Definisjonen av $\varepsilon$-$\delta$ kan formuleres som følgende.

Let $f$ be a function ... the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$ is $L$, and we write $$\lim_{x\to a }f(x)=L$$ if for every number $\epsilon>0$ there is a number $\delta>0$ such that if $0<|x-a|<\delta$ then $|f(x)-L|<\epsilon$

Med andre ord gitt en $\varepsilon > 0$ så eksisterer det en $\delta > 0$ slik at dersom $|x - a| < \delta$ så er $|f (x) - f (a)| < \epsilon$. Fra middelverdisetningen har vi at

$ \hspace{1cm}
\left| \frac{ f(x) - f(a) }{ x - a } \right| = \left| f'(c) \right|
\ \Rightarrow \ | f(x) - f(a) | = | f'(c) | | x - a |
$

Herfra tenker jeg at dersom en nå velger $\delta = \varepsilon / |f'(c)|$ så er en i mål. Kanskje Plutarco kan rydde opp argumentet mitt? Jeg må løpe å være studentassisten nu.

[DennisChristensen]

Man trenger hverken epsilon-delta-definisjoner eller MVT for å bevise dette.

Anta at $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ er deriverbar i et punkt $a \in E$. Da har vi at

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} := f'(a)$ eksisterer, så

$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) - f(a)) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a) = f'(a) \lim_{x \rightarrow a} (x - a) = 0$.

Altså er $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$ så funksjonen er kontinuerlig i punktet a.

[DennisChristensen]

[tex]\lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)[/tex]

Vi har at

[tex]\lim_{h->0}(f(x+h)-f(x))=\lim_{h->0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h})(h)=(f'(x))(0)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \lim_{h->0}f(x+h)=f(x)[/tex]

Hehe, vet ikke as, bare prøvde noe her.

Dette er likt mitt eget argument, og er helt riktig. Bare pass på å presisere at det er snakk om deriverbarhet i ett punkt, ikke i en mengde.

[ThomasSkas]

Skjønner, men hvorfor mener Nebu at jeg tar feil?
Eller, grunne til at jeg spør om hjelp, er at jeg ikke klarer det, så jeg bare prøvde meg bitte litt fram med det jeg gjorde, hehe

Nebu, hva er du stud. ass i, og på NTNU?

[Charlie]

Hvordan løser jeg denne oppgaven?

f(x)=5 2013! x 2013 +3,

g(x)=5 2013! x 2013 +7.
Regn ut
(fg) (2013) (0).
Altså verdien til den 2013nde deriverte av produktet til f og g i punktet x=0 .

[Charlie]

Hvordan løser jeg denne oppgaven?

Finn et annengradspolynom (dvs. høyeste eksponent er 2) p(x) slik at p(x) og f(x)=8cos(8x)+6 og deres første og andrederiverte er like i punktet 0 . Altså, p(0)=f(0) , p ′ (0)=f ′ (0) og p ′′ (0)=f ′′ (0) .

[Guest]

Hvordan løser jeg denne oppgaven?

Finn et annengradspolynom (dvs. høyeste eksponent er 2) p(x) slik at p(x) og f(x)=8cos(8x)+6 og deres første og andrederiverte er like i punktet 0 . Altså, p(0)=f(0) , p ′ (0)=f ′ (0) og p ′′ (0)=f ′′ (0) .

Start ved å finne f'(0) og f''(0).
Se på et generelt annengradspolynom [tex]g(x) = ax^2 + bx + c[/tex]
Finn g'(0) og g''(0).
Velg a, b og c ut fra de tre ligningene g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0).
Tre ligninger, tre ukjente, dette burde vel gå bra?

[Charlie]

Hvordan løser jeg denne oppgaven?

Finn et annengradspolynom (dvs. høyeste eksponent er 2) p(x) slik at p(x) og f(x)=8cos(8x)+6 og deres første og andrederiverte er like i punktet 0 . Altså, p(0)=f(0) , p ′ (0)=f ′ (0) og p ′′ (0)=f ′′ (0) .

Start ved å finne f'(0) og f''(0).
Se på et generelt annengradspolynom [tex]g(x) = ax^2 + bx + c[/tex]
Finn g'(0) og g''(0).
Velg a, b og c ut fra de tre ligningene g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0).
Tre ligninger, tre ukjente, dette burde vel gå bra?

f(0)=14 og f'(0)=0 og f''(0)=-512
g(0)=c og g'(0)=b og g''(0)=2a

g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0)
Gir at ax^2+bc+c=-256x^2+0*b+14
Er dette riktig?

[Charlie]

Hvordan løser jeg denne oppgaven?

Finn et annengradspolynom (dvs. høyeste eksponent er 2) p(x) slik at p(x) og f(x)=8cos(8x)+6 og deres første og andrederiverte er like i punktet 0 . Altså, p(0)=f(0) , p ′ (0)=f ′ (0) og p ′′ (0)=f ′′ (0) .

Start ved å finne f'(0) og f''(0).
Se på et generelt annengradspolynom [tex]g(x) = ax^2 + bx + c[/tex]
Finn g'(0) og g''(0).
Velg a, b og c ut fra de tre ligningene g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0).
Tre ligninger, tre ukjente, dette burde vel gå bra?

f(0)=14 og f'(0)=0 og f''(0)=-512
g(0)=c og g'(0)=b og g''(0)=2a

g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0)
Gir at [tex]g(x) = ax^2 + bx + c=-256x^2+14[/tex]
Er dette riktig?

[Charlie]

Start ved å finne f'(0) og f''(0).
Se på et generelt annengradspolynom [tex]g(x) = ax^2 + bx + c[/tex]
Finn g'(0) og g''(0).
Velg a, b og c ut fra de tre ligningene g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0).
Tre ligninger, tre ukjente, dette burde vel gå bra?[/quote]

f(0)=14 og f'(0)=0 og f''(0)=-512
g(0)=c og g'(0)=b og g''(0)=2a

g(0) = f(0), g'(0) = f'(0), g''(0) = f''(0)
Gir at [tex]g(x) = ax^2 + bx + c=-256x^2+14[/tex]
Er dette riktig?[/quote][/quote]

I så fall TUSEN TAKK FOR HJELPEN!!

[Charlie]

Hvordan løser jeg denne oppgaven?

[tex][/tex]f(x)=(5/ 2013!) x 2013 +3[tex][/tex]

[tex][/tex]g(x)=(5/ 2013!) x 2013 +7[tex][/tex]
Regn ut
[tex][/tex](fg)^(2013) * (0). [tex][/tex]
Altså verdien til den 2013nde deriverte av produktet til f og g i punktet x=0 .