Bekrefte grenseverdi med formell definisjon

[hallapaadeg]

Har en oppgave her uten fasit som jeg lurer på om jeg har gjort riktig. Den går som så:

"Use the formal definition of limit to verify the indicated limit."

[tex]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}[/tex]

Ok. Jeg ser at [tex]L = \frac{1}{2}[/tex] og [tex]a = 1[/tex]

Og det jeg vil er at [tex]0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon[/tex]

Så jeg setter inn for L og a, og forenkler litt:

[tex]0 < |x-1| < \delta \Rightarrow |\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}| < \epsilon[/tex]

[tex]0 < |x-1| < \delta \Rightarrow |\frac{1*2}{2(x+1)} - \frac{1(x+1)}{2(x+1)}| = |\frac{1-x}{2(x+1)}| = \frac{1}{2}|\frac{1}{x+1}||(-1)(x-1)| = \frac{1}{2}|\frac{1}{x+1}||-1||x-1| = \frac{1}{2}|\frac{1}{x+1}|x-1| = \frac{1}{2}|\frac{1}{x+1}|x-1|< \epsilon[/tex]

Så.. Jeg skjønner svært lite av hvordan boka prøver å vise dette, så jeg følger KhanAcademy sin fremgangsmåte der jeg skal prøve å manipulere

[tex]|x-1| < \delta[/tex] til å ligne på [tex]\frac{1}{2}|\frac{1}{x+1}||x-1|[/tex] .. ..

og bruke [tex]\delta[/tex] som en "funksjon" av [tex]\epsilon[/tex]

da må jeg gange med [tex]\frac{1}{2}|\frac{1}{x+1}[/tex] på begge sider:

[tex]\frac{1}{2}|\frac{1}{x+1} * |x-1| < \delta * \frac{1}{2}|\frac{1}{x+1}[/tex]

da har jeg et "uttrykk" for [tex]\delta[/tex] og setter derfor

[tex]\delta * \frac{1}{2}|\frac{1}{x+1} = \epsilon[/tex] og får

[tex]\delta = 2|x+1| \epsilon[/tex]

Noen som vet om det ser greit ut? Om det i så fall skulle stemme, så er jeg ikke helt komfortabel med hvorfor. jeg antar fordi epsilon alltid skal være større enn 0 at epsilon * 2 * |x+1| alltid blir et positivt tall, og derfor er det evt rett?

[DennisChristensen]

Du kan ikke la $\delta$ være avhengig av $x$.

Anta at $|x-1| < 1\text{. Da er }1 < |x+1| < 3\text{, så } \\
\left| \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\right| \\
=\left| \frac{2 - (x+1)}{2(x+1)}\right| \\
= \left| \frac{1-x}{2(x+1)}\right| \\
= \frac{\left| x-1\right|}{2\left| x+1\right|} \\
< \frac{\delta}{2}$.

$\text{La } \delta = min(1,2\varepsilon)\text{, så får vi at } \\
\forall \varepsilon > 0\text{, } 0< |x-1| < \delta \implies \left|\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon$.

[msswe]

Har en liknande oppgave, känner också en viss osäkerhet kring svaret, speciellt kring om x^2 bara kan låtas vara som det är?



Skulle vara ytterst tacksam för en kommentar

[hallapaadeg]

Du kan ikke la $\delta$ være avhengig av $x$.

Ok. Men har du lyst til å forklare hva du gjør her:

Anta at $|x-1| < 1\text{. Da er }1 < |x+1| < 3 $

Hvorfor anta at det, hvor kommer det fra? Så legger du til 2 på begge sider og legger til absoluttverditegn igjen

For meg er det helt random handlinger, siden jeg ikke forstår formålet med det


og her:

[tex]\text{La } \delta = min(1,2\varepsilon)\text{, så får vi at } \\ \forall \varepsilon > 0\text{, } 0< |x-1| < \delta \implies \left|\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon.[/tex]

Forstår ikke hva som skjer her i det hele tatt. dette ligner på eksempelet i boka

takk for hjelp!

[DennisChristensen]

Skal forsøke å forklare tanken bak argumentet litt grundigere.

Si vi skal vise at $ \lim_{x \to a} f(x) = L$. Det første vi prøver på i en slik oppgave er naturligvis å se om $\forall \varepsilon > 0\text{, } \exists \delta > 0 \text{ slik at } 0 < |x-1| < \delta\text{ garanterer at } |f(x) - L| < \varepsilon$.

I dette tilfellet skal vi vise at $ 0 < |x-1| < \delta \implies \left|\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon$.

Forkorter litt: $\left| \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\right| = \frac{|x-1|}{2|x+1|}$.

Det kan være fristende å si at siden $|x-1| < \delta$,
har vi at $\left|\frac{1}{x+1} - \frac{1}{2}\right| < \varepsilon \text{ hvis } \delta < 2|x+1|\varepsilon$, men da ser vi at $\delta$ er avhenger av verdien til $x$. For å unngå dette må vi finne en øvre grense for $\frac{1}{|x+1|}\text{, eller en nedre grense for } |x+1|\text{, om du vil}$.

Ved å anta at $|x-1| < 1$ får vi også at $|x+1| > 1$, så $\left| \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \right| = \frac{|x-1|}{2|x+1|} < \frac{|x-1|}{2} < \frac{\delta}{2}$, så hvis $\delta$ er mindre enn både $1$ og $2\varepsilon$, altså at $\delta < min(1,2\varepsilon)\text{, får vi at } \left| \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon$.

[hallapaadeg]

takk for svar. begynner å demre litt nå