Bevis

[Gjest101]

Hei. Sliter med en oppgave her som jeg ikke helt forstår hvordan jeg skal kunne løse den. Skal heller ikke bruke induksjon for å løse oppgaven.

Oppgaven lyder som følgende:

Vis at n^3-n (n - naturlige tall, n > 1) er alltid delelig med 6, og hvis n er et oddetall, så er den alltid delelig med 24.

På forhånd takk!

[Gjest101]

eh, mente

[mat23]

hvilket pensum er dette?

[Guest]

Du skal altså vise at [tex]n^3 - n[/tex] alltid er delelig på 6 for [tex]n \in \mathbb{N} \vee n > 1[/tex]?

Hvis noe er delelig på 6 hva annet kan du si at tallet er delelig på da? F.eks. hvis noe er delelig på 4 så kan man jo si at det i alle fall også er delelig på 2 ikke sant? Når du har funnet ut dette har du forhåpentligvis kommet frem til to primtall som man kan faktorisere 6 i.

Hva nå om du faktoriserer uttrykket ditt [tex]n^3 - n = n(n^2 - 1)[/tex]. Beviser du nå at [tex]n[/tex] er delelig på den ene faktoren av 6 og [tex]n^2-1[/tex] er delelig på den andre faktoren av 6 beviser du jo at sulamitten er delelig på 6.

Hvis jeg var deg ville jeg startet med å se på hva som skjedde dersom n var et oddetall. [tex]2m+1 = n[/tex] gir [tex](2m+1)((2m+1)^2 - 1)[/tex]. Hva er dette delelig på? og hva skjer dersom n er et partall? [tex](2m)((2m)^2 - 1)[/tex]. Hva er dette delelig på? (Gang ut parentesene og bruk tallinje argument. F.eks. Hvis jeg har 3 tilfeldige tall etter hverandre [tex]2m-1, 2m og 2m+1[/tex] Så vet vi at et av disse MÅ være delelig på 3, fordi vært tredje tall på tallinja er det, og at et av disse (eller to) MÅ være delelig på 2 ettersom hvert andre tall på tallinja er det).

Får du det til nå?

[Nebuchadnezzar]

Frekkisen er jo å merke seg som Gjest skriver at $n^3 - n = n(n^2 - 1 ) = (n-1) \cdot n \cdot ( n + 1)$. Dette beskriver tre påfølgende heltall på tallinjen.
Er tre påfølgende tall på tallinjen delelig på 6? Her kan det være nyttig å putte inn ulike verdier å se hvordan produktet $(n-1) \cdot n \cdot ( n + 1)$ ser ut.
For 24 ville jeg igjen gjort som gjest, sett $n = 2m + 1$ inn i $ (n-1) \cdot n \cdot ( n + 1)$ da ser du forhåpentligvis hvor den ekstra $4$ faktoren kommer fra.