GCD-polynomer

[stensrud]

Okei, skal finne alle par av heltall $(x,y)$ som tilfredsstiller $y^3+5=x(y^2+2)$. Jeg delte begge sider på $y^2+2\not=0$, slik at jeg må finne alle $y$ slik at $\frac{y^3+5}{y^2+2}\in\mathbb{Z}$.^For at dette skal være tilfelle må $(y^3+5,y^2+2)=y^2+2$. Jeg brukte den Euklidske algoritmen, men dette gir tydeligvis ikke riktig svar. Hva gjør jeg feil her?

$y^3+5=y(y^2+2)+(-2y+5)$

Siden $2\not\mid2y-5$, så er $(y^2+2,2y-5)=(2y^2+4,2y-5)$:

$2y^2+4=y(2y-5)+(5y+4)$

Igjen, siden $2\not\mid2y-5$, er $(5y+4,2y-5)=(10y+8,2y-5)$:

$10y+8=5(2y-5)+(32)$.

Altså $(y^3+5,y^2+2)\mid32$ som sammen med $y^2+2\geq 2$ impliserer at $y^2+2=2,4,8,16,32\Leftrightarrow y^2=0,2,6,14,30$, hvor kun den første er mulig. Men, dette stemmer ikke, da kun $y=1$ og $y=-3$ er løsninger.

[Brahmagupta]

I siste linje skal du få $33$ ikke $32$. Da kan du løse $y^2+2=3,11,33$ og
dermed finne de riktige løsningene.

Dette er dog en noe ineffektiv fremgangsmåte. For at
$\frac{y^3+5}{y^2+2}=y+\frac{5-2y}{y^2+2}$ skal være et heltall må $|5-2y|\geq y^2+2$.
Ved å løse de to aktuelle ulikheten ser man at dette kun holder for $y\in [-3,1]$,
og da er man praktisk talt i mål!

[stensrud]

I siste linje skal du få $33$ ikke $32$. Da kan du løse $y^2+2=3,11,33$ og
dermed finne de riktige løsningene.

Dette er dog en noe ineffektiv fremgangsmåte. For at
$\frac{y^3+5}{y^2+2}=y+\frac{5-2y}{y^2+2}$ skal være et heltall må $|5-2y|\geq y^2+2$.
Ved å løse de to aktuelle ulikheten ser man at dette kun holder for $y\in [-3,1]$,
og da er man praktisk talt i mål!

Din metode er helt klart mer effektiv ja. Takk skal du ha!