Representere sinus-Fourierrekke som sum

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
christianac2

Hei, sliter litt med en del av et større problem her.

Skal finne [tex]a_n[/tex] som del av en Fourierrekke og har kommet frem til følgende
[tex]a_n = \frac{2}{\pi n}\Big(-\sin \frac{\pi n}{2}\Big)[/tex].

Jeg sliter med å skrive om uttrykket slik at:
1) Hver partall = 0
2) Annenhvert oddetall har alternerende fortegn

For eksempel
[tex]n = 1 \implies -\frac{2}{\pi}\\ n = 2 \implies 0\\ n = 3 \implies \frac{1}{3 \pi}\\ n = 4 \implies 0\\ n = 5 \implies -\frac{1}{5 \pi}\\[/tex]

Noen som kan hjelpe? :D
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

[tex]\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex] vil være [tex]0 \ \forall\ n = 2m[/tex] hvor [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^\infty -\frac{2}{n\pi}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex]

Innfør [tex]n = 2m-1[/tex] slik at vi kun summerer over oddetallene.

For m=1 er n=1 og sinus-leddet skal være positivt, for m=2 er n=3 og sinusleddet skal være negativt, osv. Du får:

[tex]\sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)\cdot(-1)^{m+1} = \sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)^{m+2}[/tex]
Guest

zell wrote:[tex]\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex] vil være [tex]0 \ \forall\ n = 2m[/tex] hvor [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^\infty -\frac{2}{n\pi}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex]

Innfør [tex]n = 2m-1[/tex] slik at vi kun summerer over oddetallene.

For m=1 er n=1 og sinus-leddet skal være positivt, for m=2 er n=3 og sinusleddet skal være negativt, osv. Du får:

[tex]\sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)\cdot(-1)^{m+1} = \sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)^{m+2}[/tex]
To spørsmål:
Er det nødvendig å skrive om i dette tilfellet? Kan man ikke bare la uttrykket stå som det er, eller blir det fyfy? Om det absolutt er nødvendig kunne man ikke heller bare skrevet [tex]\sum_{n=1, 3, 5 ..}^\infty[/tex]? Jeg er enig i at variabelbytte ser litt bedre ut da :)
Jeg spør ikke fordi jeg tror det er feil, bare lurer.
Noe jeg faktisk tror er feil, men kamuflerer som et spørsmål er om ikke[tex](-1)^{m+2}[/tex] blir litt overflødig ettersom [tex](-1)^m = (-1)^{m+2} = (-1)^{m+4}[/tex]?
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Rett som du sier, man kunne like gjerne skrevet summen med sinus-leddet. Men, stort sett blir man bedt om å skrive det om (sikkert fordi det ser penere og ryddigere ut)..

Når det gjelder [tex](-1)^{m+2}[/tex] har du helt rett, det kan like gjerne skrives som [tex](-1)^m[/tex]..
Post Reply