Representere sinus-Fourierrekke som sum

[christianac2]

Hei, sliter litt med en del av et større problem her.

Skal finne [tex]a_n[/tex] som del av en Fourierrekke og har kommet frem til følgende
[tex]a_n = \frac{2}{\pi n}\Big(-\sin \frac{\pi n}{2}\Big)[/tex].

Jeg sliter med å skrive om uttrykket slik at:
1) Hver partall = 0
2) Annenhvert oddetall har alternerende fortegn

For eksempel
[tex]n = 1 \implies -\frac{2}{\pi}\\ n = 2 \implies 0\\ n = 3 \implies \frac{1}{3 \pi}\\ n = 4 \implies 0\\ n = 5 \implies -\frac{1}{5 \pi}\\[/tex]

Noen som kan hjelpe?

[zell]

[tex]\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex] vil være [tex]0 \ \forall\ n = 2m[/tex] hvor [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^\infty -\frac{2}{n\pi}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex]

Innfør [tex]n = 2m-1[/tex] slik at vi kun summerer over oddetallene.

For m=1 er n=1 og sinus-leddet skal være positivt, for m=2 er n=3 og sinusleddet skal være negativt, osv. Du får:

[tex]\sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)\cdot(-1)^{m+1} = \sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)^{m+2}[/tex]

[Guest]

[tex]\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex] vil være [tex]0 \ \forall\ n = 2m[/tex] hvor [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^\infty -\frac{2}{n\pi}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex]

Innfør [tex]n = 2m-1[/tex] slik at vi kun summerer over oddetallene.

For m=1 er n=1 og sinus-leddet skal være positivt, for m=2 er n=3 og sinusleddet skal være negativt, osv. Du får:

[tex]\sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)\cdot(-1)^{m+1} = \sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)^{m+2}[/tex]

To spørsmål:
Er det nødvendig å skrive om i dette tilfellet? Kan man ikke bare la uttrykket stå som det er, eller blir det fyfy? Om det absolutt er nødvendig kunne man ikke heller bare skrevet [tex]\sum_{n=1, 3, 5 ..}^\infty[/tex]? Jeg er enig i at variabelbytte ser litt bedre ut da
Jeg spør ikke fordi jeg tror det er feil, bare lurer.
Noe jeg faktisk tror er feil, men kamuflerer som et spørsmål er om ikke[tex](-1)^{m+2}[/tex] blir litt overflødig ettersom [tex](-1)^m = (-1)^{m+2} = (-1)^{m+4}[/tex]?

[zell]

Rett som du sier, man kunne like gjerne skrevet summen med sinus-leddet. Men, stort sett blir man bedt om å skrive det om (sikkert fordi det ser penere og ryddigere ut)..

Når det gjelder [tex](-1)^{m+2}[/tex] har du helt rett, det kan like gjerne skrives som [tex](-1)^m[/tex]..