derivasjon med kjerneregel og abs-verdi funksjoner

[hallapaadeg]

Fått en liten oppgave som spør om man kan bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av $|x^{4}|$ og $|x|^{4}$ i $x = 0$ og dermed finne den deriverte til funksjonene i $x = 0$

Nå ser det jo veldig ut som om dette er samme funksjon og at dette kan være riktig: $|x|^{4} = |x^{4}| = x^{4} \Rightarrow (x^{4})' = 4x^{3}$

Men hvis jeg skal late som ingenting og bruke kjerneregelen blir det jo noe slikt :

$f_1(x) = |x^{4}|$ ... $u = x^{4}$ .. $v = |u|$ ... $\Rightarrow f_1'(x) = v' * u' = sgn(u) * 4x^{3} = = 4x^{3}*sgn(x^{4}) = 4x^{3}\frac{x^{4}}{|x^{4}|}$

$f_2(x) = |x|^{4}$ ... $u = |x| ... v = u^{4}$ ... $\Rightarrow f_2'(x) = v' * u' = 4u^{3} * sgn(x) = 4|x|^{3} * \frac{x}{|x|}$

eller er jeg helt på jordet?? Vet ikke helt hvordan man skal tolke oppgaven her. Ikke bare det, men på wikipedia står det at $sgn(0) = 0$

[Norm]

[tex]f_{1}(x) = | x^{4} | = \sqrt{(x^{4})^{2}}[/tex]
[tex]f_{1}(x)' = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{(x^{4})^{2}}} 2 (x^{4}) 4 x^{3} = \frac{(x^{4})}{ | x^{4} |}4x^{3} = \frac{(4x^{7})}{ | x^{4} |}[/tex] som går mot null når x går mot null fordi et polynom av grad 7 går raskere mot null enn ett med grad 4.

[tex]f_{2}(x) = | x |^{4} = (\sqrt{(x^{2})})^{4}[/tex]
[tex]f_{2}(x)' = 4(\sqrt{(x^{2})})^{3} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2}}}2x = 4 x \frac{| x |^3}{| x |} = 4 x |x|^2[/tex] som åpenbart går mot null.