Derviasjon av trigonometriske funksjoner

[Angel79]

Hei,

Lurer på om noen kan hjelpe meg med denne oppgaven som jeg sliter med, og vet ikke hvor jeg skal begynne.

Derivér funksjonene:

1) f(x) = tan (x^2)

2) f(x) = (-sin(x)) * ((cos(-x))

3) f(x) = ln ((x^2+1))

[Gjest2]

Hva er den dervierte av tan x, og hva er den dervierte til sin x og cos x? Ganske sikker på at den skal stå i boka.

Sett x^2 som en kjerne. Kan hjelpe deg med å begynne

[tex]f(x)= tan(x^2)[/tex]
[tex]f(x)=tan u[/tex] der [tex]u= x^2[/tex]
[tex]f'(x)=(tan u)' * u'[/tex]


[tex]f(x)= -sinx*cos(-x)[/tex]
[tex]f(x)=u*v[/tex] der[tex]u= -sinx[/tex] og [tex]v=cos(-x)[/tex]
[tex]f'(x)= u'v+v'u[/tex]

[gjest2]

Glemte den siste
3) [tex]f(x)=ln(x^2+1)[/tex]
[tex]f(x)=lnu[/tex] der u=x^2+1
[tex]f'(x)=(lnu)'*u'[/tex]

[Angel79]

Jeg er ganske forvirret iht til disse oppgavene. Har sett i boka, og vi hadde kun en fort gjennomgang av dette emnet, med noen få oppgaver. Jeg står helt enkelt fast.

[Gjest2]

Okei, da skal jeg prøve å hjelpe deg så godt jeg kan, men jeg lurer på om du har lært produkt reglen og kjerne reglen? Hvis ikke ta en titt her. http://udl.no/r1-matematikk/kapittel-8- ... funksjoner. DETTE må du kunne for å derviere de fleste oppgaver

Iallefall, så er det slik at, den dervierte [tex](tan(x))'= \frac{1}{cos^2 (x)}[/tex]
Og den dervierte av [tex](sin(x))'=cos x[/tex] og den deriverte av [tex](cos(x)'=-sin(x)[/tex] og [tex]((cos(kx))'=kcos(kx)[/tex]
Dersom du ønsker å vite hvorfor det er slik så kan du bare spørre, men disse er ganske viktige å pugge på ettersom de kommer tilbake gang på gang.

Så tilbake til oppgavene dine skal prøve å forklare så grundig som mulig.

1) [tex]f(x)=tan(x^2)[/tex] her benytter vi oss av kjernereglen for å kunne bruke reglen oppe,
[tex]f(x)=tan u[/tex] der [tex]u=x^2[/tex] og [tex]u'=2x[/tex]
[tex]f'(x)=(tanu)'*u'[/tex]
[tex]=\frac{1}{cos^2(u))}*2x[/tex], Vi bytter tilbake u med x^2 og dermed blir svaret
[tex]=\frac{2x}{cos^2(x^2)}[/tex]

2)[tex]f(x)=-sinx*cos(-x)[/tex]
Vi benytter oss av produkt reglen
[tex]f(x)=u*v[/tex] der [tex]u=- sin x[/tex] og[tex]u'=-cos x[/tex]. og [tex]v=cos(-x)[/tex] og [tex]v'=sin(-x)[/tex]
Så dervierer vi funksjonen og bytter tilbake variablene
[tex]f'(x)=u'v+v'u[/tex]
[tex]=-cosx*cos(-x)+sin(-x)*(-sinx)[/tex] Ser du noe intressant her?

Den siste kan du prøve på selv jeg kan gi deg et hint:
[tex](lnx)'=\frac{1}{x}[/tex]
Prøv og se hva du får =)

[Helene_91]

Du bør for det første vite om disse derivasjonsreglene:

$sin(x)' = cos(x)$
$cos(x)' = -sin(x)$
$ln(x)' = \frac{1}{x}$

Det er greit å vite at $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$.

Produktregelen. Den sier at om du har to uttrykk av x, u(x) og v(x), som er multiplisert med hverandre, og hele uttrykket skal deriveres mhp. x, så gjøres det som under:

$(u\cdot v)' = u'\cdot v + u \cdot v'$

f.eks.
$(sin(x) \cdot cos(x))'$
$u = sin(x)$ og $v=cos(x)$
$(u\cdot v)' = u'\cdot v + u \cdot v'$
$(sin(x) \cdot cos(x))' = sin(x)' \cdot cos(x) + sin(x) \cdot cos(x)'$
$(sin(x) \cdot cos(x))' = cos(x) \cdot cos(x) + sin(x) \cdot (-sin(x)) = cos^2(x) - sin^2(x)$

Kvotientreglen. Som produktregelen, men med deling mellom u(x) og v(x) istedet for multiplisering.

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'\cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

Kjerneregelen. Det den sier er at om vi har et uttrykk f(u) med kjernen u(x), så deriverer vi funksjonen med hensyn på kjernen og multipliserer med den deriverte til kjernen:

$f'(x) = f'(u) \cdot u'(x)$

f.eks.

$f(x) = (x+2)^4$
Da setter vi $f(u)=u^4$ og $u=x+2$, og vi kan bruke regelen:
$f'(x) = f'(u) \cdot u'(x) = (u^4)' \cdot (x+2)' = 4u^3 \cdot 1 = 4(x+2)^3$

Dette er det jeg hadde brukt for å løse oppgavene

PS: Om du ikke er helt stø på kjerneregelen og kvotientreglen brukt sammen, så er det nok lettere å bruke $tan(x)' = \frac{1}{cos^2(x)}$ og kun kjerneregelen. Da er det litt mindre å holde styr på.

[Angel79]

Det var disse u og v jeg ikke fant i boken, men kanskje jeg leter på feil plass... Jeg har prøvd og studere det, og lære meg det, men det er som sagt ikke lett

[Helene_91]

Det er vgs-pensum, så det er sikkert derfor det ikke står i boken din.

Ta en titt på denne videoen, der blir det forklart godt:

https://sites.google.com/site/lektorthu ... et-produkt

[Angel79]

Ok da skjønner jeg Forstod ikke helt hvorfor jeg ikke fant det i Sinus Forkurs for ingeniørutdanning.

[gjest2]

Ok da skjønner jeg Forstod ikke helt hvorfor jeg ikke fant det i Sinus Forkurs for ingeniørutdanning.

Hvordan gikk den siste deloppgaven? Klarte du den?