Transcendentale funksjoner

[ThomasSkas]

Hei!!

Jeg holder på med transcendentale funksjoner, og har kommet over følgende:

Betrakt alle punktene [tex](x,y)[/tex] i området [tex]x,y\geq 0[/tex] som tilfredsstiller

[tex]8x^3+10x^2y+axy^2+by^3=1[/tex]

hvor [tex]a,b> 0[/tex]
Du kan anta at i dette området så er [tex]y=f(x)[/tex] for en injektiv (one-to-one) funksjon [tex]f[/tex].
Finn verdiene for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at [tex]f[/tex] er selv-invers. For en slik [tex]f[/tex], finn verdien til [tex]f'(0)[/tex]

Hva vet jeg? Jo;

Injektiv funksjon vil si at (tror jeg) [tex]x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})[/tex]

At den deriverte til en invers funksjon er gitt ved:

[tex]f^{-1}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}[/tex]

Og at en invers funksjon er generelt gitt ved:

[tex]y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)[/tex]

[ThomasSkas]

Gir en liten bump her.

[ThomasSkas]

??

[Gustav]

Vi har altså
$8x^3+10x^2f(x)+axf(x)^2+bf(x)^3=1$.

Gjør substitusjonen $x\to f(x)$. Siden f er selvinvers er f(f(x))=x for alle x, dermed fås likningen

$8f(x)^3+10xf(x)^2+ax^2f(x)+bx^3=1$.

Sett inn egnede verdier for x i begge likningene for å finne verdiene av a og b.

[ThomasSkas]

Vi har altså
$8x^3+10x^2f(x)+axf(x)^2+bf(x)^3=1$.

Gjør substitusjonen $x\to f(x)$. Siden f er selvinvers er f(f(x))=x for alle x, dermed fås likningen

$8f(x)^3+10xf(x)^2+ax^2f(x)+bx^3=1$.

Sett inn egnede verdier for x i begge likningene for å finne verdiene av a og b.

Jeg tror jeg har skjønt hva du gjorde her, med tanke på at det blir oppgitt om selvinvers. Men hvilke egnede verdier for x har jeg her, som er knyttet til likningen over og under?

[Guest]

Hva med x = 0 i begge likningene plutarco skrev?

[ThomasSkas]

[tex]x=0[/tex] i den første likningen gir meg [tex]bf(0)^3=1[/tex]
x = 0 i den andre likningen gir meg [tex]8f(0)^3=1\Rightarrow f(0)^3=1/8[/tex]
Setter jeg dette inn i den første får jeg: [tex]b\cdot \frac{1}{8}=1\Rightarrow b=8[/tex]

Hehe, men der stopper det. For a er jeg usikker. Kanskje derivasjon for å finne a?

[Gustav]

[tex]x=0[/tex] i den første likningen gir meg [tex]bf(0)^3=1[/tex]
x = 0 i den andre likningen gir meg [tex]8f(0)^3=1\Rightarrow f(0)^3=1/8[/tex]
Setter jeg dette inn i den første får jeg: [tex]b\cdot \frac{1}{8}=1\Rightarrow b=8[/tex]

Hehe, men der stopper det. For a er jeg usikker. Kanskje derivasjon for å finne a?

Sett inn hva som helst for x, så får du to likninger med to ukjente (a og f(x)). Eventuelt kan du trekke likningene fra hverandre, og faktorisere.

For å finne f'(0) må du derivere en av likningene jeg skrev opp implisitt, og deretter bruke verdien av f(0) du fant her. Du må til slutt løse en andregradslikning for f'(0).

[ThomasSkas]

[tex]x=0[/tex] i den første likningen gir meg [tex]bf(0)^3=1[/tex]
x = 0 i den andre likningen gir meg [tex]8f(0)^3=1\Rightarrow f(0)^3=1/8[/tex]
Setter jeg dette inn i den første får jeg: [tex]b\cdot \frac{1}{8}=1\Rightarrow b=8[/tex]

Hehe, men der stopper det. For a er jeg usikker. Kanskje derivasjon for å finne a?

Sett inn hva som helst for x, så får du to likninger med to ukjente (a og f(x)). Eventuelt kan du trekke likningene fra hverandre, og faktorisere.

For å finne f'(0) må du derivere en av likningene jeg skrev opp implisitt, og deretter bruke verdien av f(0) du fant her. Du må til slutt løse en andregradslikning for f'(0).

Jeg gjorde det første du sa, valgte x = 1, og løste i Geogebra, men fikk ikke noe svar:

Skjermdump: https://gyazo.com/69a6ad2b22e42b19762b3753ffb9d030

Og spørsmål, hvis [tex]f(0)^3=\frac{1}{8}[/tex] så må [tex]f(0)=\frac{1}{2}[/tex] ?

[Gustav]

Hvis vi først trekker den andre likningen fra den første får vi

$10x^2f(x)+axf(x)^2-10xf(x)^2-ax^2f(x)=0 $, som kan skrives

$(10-a)(x^2f(x)-xf(x)^2)=0$.

Setter vi f.eks. x=1, fås

$(10-a)(f(1)-f(1)^2)=0$.

Videre må du drøfte de to tilfellene som vi nå har. hint: En av faktorene må være 0.

For øvrig en veldig fin oppgave! Hvor er den hentet fra?

EDIT: Det blir riktig at $f(0)=\frac12$ ja!

[ThomasSkas]

[tex](10-a)(f(1)-f(1)^2)=0[/tex]

Da har vi at:

[tex]10-a =0[/tex]

[tex]a=10[/tex]

Da er i hvertfall a = 10

og

[tex]f(1)-f(1)^2=0[/tex]

[tex]f(1)=f(1)^2[/tex]

Jeg synes også oppgaven er interessant da jeg ikke har vært borti den før. Den er hentet fra NTNU, så jeg gjetter på at den er laget av noen folk i det matematiske instituttet, om ikke de har hentet det videre fra andre kilder.

[Gustav]

Du er ikke helt ferdig her. Hva om $f(1)=f(1)^2 $ ? Hva vil dette medfølge?

[ThomasSkas]

Du er ikke helt ferdig her. Hva om $f(1)=f(1)^2 $ ? Hva vil dette medfølge?

Hm, jeg la merke til den da jeg satte faktorene lik null. Det jeg forstår er jo at f(1) er det samme som å regne ut f(1), og deretter kvadrere svaret. Da tolker jeg at det må bety at f(1) = 1 ?

[Gustav]

f(1) kan enten være 0 eller 1. Prøv å sett inn disse mulighetene i den aller første likningen for å utlede en motsigelse.

[ThomasSkas]

f(1) kan enten være 0 eller 1. Prøv å sett inn disse mulighetene i den aller første likningen for å utlede en motsigelse.

Hm, jeg satte f(1) = 0, og da fikk jeg at venstre side = høyre side = 0.
For f(1) = 0, får jeg 10+a-10-a = 0, altså 0 også her.
Vet ikke hvordan det blir en selvmotsigelse, for begge går.