Invers og minste tall

[Guest]

Hei!! Jeg har to oppgaver her, en som jeg har klart, og en som jeg ikke forstår noe av.

Finn det minste tallet c slik at funksjonen [tex]f(x)=3e^{6(x+4)^2}[/tex] med definisjonsmengde

[tex]D_{f}=[c,\infty )[/tex]

Den andre oppgaven:

Finn den inverse til f på dette intervallet. Svaret skal være et uttrykk i x. Svaret må være eksakt, så bruk gjerne eksponenter og kjente funksjoner til å uttrykke svaret.

Da kom jeg fram til: [tex]f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{ln(x/3)}{6}}-4[/tex]

Håper på hjelp og guiding. Tusen takk!

[Guest]

Noen? Jeg tror ikke denne skal være vanskelig, men foreleserne går ikke gjennom slikt, så vi er på egenhånd, og jeg har virkelig prøvd, men klarer ingenting på a).

[Gustav]

Oppgaveteksten din gir jo ingen mening. Virker som det mangler noen ord..

[Guest]

Oppgaveteksten din gir jo ingen mening. Virker som det mangler noen ord..

Du har helt rett. Det ser ut som "invers" har sneket seg bort.
Her er screenshot av skjermen min: https://gyazo.com/fef1bea21f916fcf617e8fef53816b86

[DennisChristensen]

Funksjonen $f: [c,∞) \rightarrow [1,∞)$ har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv, altså hvis og bare hvis den er injektiv og surjektiv.

Vi ønsker at $f$ skal være injektiv, altså at $ \forall a,b \in [c,∞), f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$.

Anta at $f(a) = f(b)$. Da får vi at

$3e^{6(a+4)^2} = 3e^{6(b+4)^2} \\
\therefore (a+4)^2 = (b+4)^2 \\
\therefore a = b \iff a,b ≥ -4$,
så funksjonen er injektiv for $c≥-4$.

Men ettersom $f$ er kontinuerlig, strengt økende og ikke oppad begrenset på $[-4,∞)$ er også f surjektiv her, så $c=-4$.

b) er riktig besvart.