induksjon

[asp]

Trenger veldig hjelp med induksjon.

Har en oppgave som dette:

Oppgave 2
Du har funnet et gammelt skattekart som forteller om skatten fra en skute som forliste
i året 1681. Kartet sier:
Start ved klippen i strandkanten, der vraket av skuta ligger. For å finne skatten,
skal du gå rett innover land fra baksiden av klippen. Skjær ned skutas mast, og
legg den slik at den peker rett innover land fra klippens fot. Da kommer du til
det første målepunktet. Avstanden fra klippen til det andre målepunktet finner
du ved å gange avstanden til første målepunkt først med seg selv og så med 8,
legge til årstallet da skuta forliste, dele på 9 og ta kvadratroten. Avstanden fra
klippen til det tredje målepunktet finner du ved å gange avstanden til andre
målepunkt først med seg selv og så med 8, legge til årstallet da skuta forliste,
dele på 9 og ta kvadratroten. Fortsetter du slik uendelig lenge, kommer du
dit skatten er nedgravd.
Når du kommer til øya, finner du klippen. Men vraket av skuta er det nesten ingen
ting igjen av, og du finner ikke masten! Først tenker du at dette er håpløst. Men så
innser du at kunnskaper fra Mat1100 gjør at du kanskje kan finne skatten likevel.
Vi kjenner ikke lengden av masten, så la oss kalles den M (meter). La an være
avstanden fra foten av klippen til målepunkt nummer n, målt i meter. Da er a1 = M.
a) Finn en formel som uttrykker an+1 ved an, for alle n ≥ 1.
b) Anta at følgen {an}∞
n=1 konvergerer. Hvilket tall konvergerer den i så fall
mot?
c) Bevis at følgen {an}∞
n=1 er oppad begrenset. Her kan du anta at masten i alle
fall ikke har vært høyere enn 30 meter.
d) Bevis at følgen {an}∞
n=1 er voksende.
e) Bevis at følgen {an}∞
n=1 konvergerer.
f) Hvis kartet er riktig, hvor ligger skatten nedgravd? Begrunn svaret.

Jeg har bare funnet ligningen: sqrt ( 8x^2 + 1681 / 9)

Så har jeg satt denne lik a(n)

videre at a (n+1) = a(n)

men jeg forstår ikke hvordan sette opp...og få hva den konvergerer mot?

jeg er dårlig i induksjon, men vil bli veldig glad om noen kan hjelpe meg på vei.
Til nå har jeg bare gjort enkle induskjonsoppgaver, sånne standard der det er gitt hvordan det er satt opp, så mer mekanisk regning, dette er ikke vanskelig heller, men altså jeg kommer ikke noen vei?

[DennisChristensen]

(a) Vi har at neste målepunkt finnes ved "å gange avstanden til forrige målepunkt først med seg selv og så med 8, legge til årstallet da skuta forliste, dele på 9 og ta kvadratrot." Altså får vi at

$a_{n+1} = \sqrt{\frac{8a_{n}^2 + 1681}{9}}$.

(b) Vi antar at $(a_n)$ konvergerer. Altså at $\exists \alpha \in \mathbb{R}$ slik at $a_n \rightarrow \alpha$ når $n \rightarrow ∞$.

Da har vi også at $a_{n+1} \rightarrow \alpha$ når $n \rightarrow ∞$, så $\alpha = \sqrt{\frac{8\alpha^2 + 1681}{9}}$
$\therefore \alpha^2 = \frac{8}{9}\alpha^2 + \frac{1681}{9} \\
\therefore \alpha^2 = 1681$
$\therefore \alpha = 41$ siden $a_{n} ≥ 0 \forall n \in \mathbb{N}$.

(c) Vi ønsker å finne $S \in \mathbb{R}^{≥0}$ slik at $a_{n} ≤ S \text{ } \forall n \in \mathbb{N}$. En naturlig $S$ å gjette er $S :=41$, ettersom vi da både får at $S≥M$ og at $S≥\alpha$, den potensielle grenseverdien for $(a_n)$.

Base case: for $n=1$ har vi at $a_n = M ≤ 30 ≤ 41 = S$.

Induksjon: Anta at $\exists k \in \mathbb{N}$ slik at $a_k ≤ S = 41$. Da får vi at

$a_{k+1} ≤ \sqrt{\frac{8\cdot 41^2 + 1681}{9}} \\
=\sqrt{41^2} \\
= 41 = S$

så $S=41$ er en øvre grense $\forall n \in \mathbb{N}$.

(d) $\displaystyle a_{n+1} - a_n = \left(\frac{8a_{n}^2 + 1681}{9}\right)^{\frac{1}{2}} - a_n \\
= \frac{\frac{8a_n^2 + 1681}{9} - a_n^2}{\left(\frac{8a_n^2 + 1681}{9}\right)^{\frac{1}{2}} + a_n} \\
= \frac{41^2 - a_n^2}{9\left(\left(\frac{8a_n^2 + 1681}{9}\right)^{\frac{1}{2}} + a_n\right)} \\
≥ 0 \text{ ettersom } 0 ≤ a_n ≤ 41 \text{ }\forall n \in \mathbb{N}$.

(e) Følgen $(a_n)$ er voksende og oppad begrenset, og må derfor konvergere. (Vil tro analyse-boken din har et skikkelig bevis på dette)

(f) Ettersom $a_n$ er avstanden fra klippen til det $n$-te målepunktet, og siden $a_n \rightarrow 41$ når $n \rightarrow ∞$, ligger skatten 41 meter fra klippen i den retningen oppgitt på kartet.

[asp]

Hei!

Takk for fin hjelp med hele oppgaven:-) utrolig takknemlig.

Skjønte ikke helt hvordan du i slutten av oppgave d fikk delte det hele på 9 (8an^2+1681 / 9)^1/2 + an

Jeg får bare delt på 8an^2+1681 / 9 + an

Men får prøve på nytt:-)

[DennisChristensen]

Hei!

Takk for fin hjelp med hele oppgaven:-) utrolig takknemlig.

Skjønte ikke helt hvordan du i slutten av oppgave d fikk delte det hele på 9 (8an^2+1681 / 9)^1/2 + an

Jeg får bare delt på 8an^2+1681 / 9 + an

Men får prøve på nytt:-)

Trikset er en variant av tredje kvadratsetning. Vi vet at $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$, så $x-y = \frac{x^2 - y^2}{x+y}$.

Vi ønsker å vise at $\forall n \in \mathbb{N}, a_{n+1} ≥ a_n$, altså at $a_{n+1} - a_n ≥ 0$.

$a_{n+1} - a_n = \frac{a_{n+1}^2 - a_{n}^2}{a_{n+1} + a_n} \\
= \frac{\frac{8a_{n}^2 + 1681}{9} - a_{n}^2}{\left(\frac{8a_{n}^2 + 1681}{9}\right)^{\frac{1}{2}} + a_n} \\
= \frac{8a_{n}^2 + 1681 - 9a_{n}^2}{9\left(\left(\frac{8a_{n}^2 + 1681}{9}\right)^{\frac{1}{2}} + a_n\right)} \\
= \frac{41^2 - a_{n}^2}{9\left(\left(\frac{8a_{n}^2 + 1681}{9}\right)^{\frac{1}{2}} + a_n\right)} \\
≥ 0\text{ ettersom } |a_n| ≤ |41| = 41\text{ } \forall n \in \mathbb{N} \text{ og nevneren er positiv.}$

[nanna72]

Då oppgaveteksten i c) sier:

"Bevis at følgen {an}∞n=1 er oppad begrenset. Her kan du anta at masten i alle fall ikke har vært høyere enn 30 meter"

Blir det ikke feil når du antar S=41?

[DennisChristensen]

Då oppgaveteksten i c) sier:

"Bevis at følgen {an}∞n=1 er oppad begrenset. Her kan du anta at masten i alle fall ikke har vært høyere enn 30 meter"

Blir det ikke feil når du antar S=41?

Hvis mastens høyde $M$ er mindre enn eller lik $30$ meter, så har vi at $M ≤ 30 ≤ 41 = S$, så det er ikke noe problem, nei.