Sannsynlighet

[alekojlime]

Knut bruker mer enn to timer på leksene: P(K)=0.60
Ola bruker mer enn to timer på leksene: P(O)=0.75
P(O|K)=0.80
P(O∩K)=0.48

Hva er sannsynligheten for at minst én av dem bruker mer enn to timer?

Det er vel en slags kombinasjon av disse tre?
P(O∩K)
P(O)
P(K)

Men jeg får det ikke til å stemme med fasiten, som er 0.87.

På forhånd takk for svar!

[DennisChristensen]

Knut bruker mer enn to timer på leksene: P(K)=0.60
Ola bruker mer enn to timer på leksene: P(O)=0.75
P(O|K)=0.80
P(O∩K)=0.48

Hva er sannsynligheten for at minst én av dem bruker mer enn to timer?

Det er vel en slags kombinasjon av disse tre?
P(O∩K)
P(O)
P(K)

Men jeg får det ikke til å stemme med fasiten, som er 0.87.

På forhånd takk for svar!

La $M$ være hendelsen hvor minst én av dem bruker mer enn to timer. Med bruk av et partisjonstre/sannsynlighetstre for M (med $K, K^C$ som partisjon) får vi at

$P(M) = P(M|K)P(K) + P(M|K^C)P(K^C)\text{ } (*)$

Nå, hvis Knut gjør leksene så vet vi at minst én av dem gjør leksene, så $P(M|K) = 1$.
Hvis Knut ikke gjør leksene må nødvendigvis Ola gjøre leksene for at minst én av dem skal gjøre leksene, så $P(M|K^C) = P(O|K^C)$.
Vi kjenner verdiene til $P(K)$ og $P(K^C) = 1 - P(K)$, så vår eneste ukjente er $P(O|K^C)$.
Vi finner denne verdien ved å bruke et nytt partisjonstre hvor vi allerede kjenner til alle andre sannsynligheter, for eksempel et partisjonstre for O (med $K, K^C$ som partisjon):

$P(O) = P(O|K)P(K) + P(O|K^C)P(K^C) \\
\therefore 0,75 = 0,8\cdot0,6 + (1-0,6)P(O|K^C) \\
\therefore P(O|K^C) = \frac{0,75 - 0,8\cdot0,6}{0,4} = 0,675$.

Så derfor får vi fra $(*)$ at
$P(M) = 1\cdot0,6 + 0,675\cdot0,4 \\
= 0,6 + 0,27 \\
= 0,87$.