Derivasjon R1

[bruker4321]

Hei!

Jeg sliter med å finne ut hvordan jeg skal gå løs på denne oppgaven:

Funksjonen f er gitt ved f(x)=ln(1+2x) - (1/3)x
a) Bestem definisjonsmengden til f.
b) Hva er verdimengden til f?

På forhånd, takk for svar!

[DennisChristensen]

Hei!

Jeg sliter med å finne ut hvordan jeg skal gå løs på denne oppgaven:

Funksjonen f er gitt ved f(x)=ln(1+2x) - (1/3)x
a) Bestem definisjonsmengden til f.
b) Hva er verdimengden til f?

På forhånd, takk for svar!

For å finne definisjonsmengden må vi spørre oss selv "for hvilke (reelle) $x$-verdier er funksjonen $f$ definert?"
Nå, $\frac{1}{3}x$ er definert for alle $x \in \mathbb{R}$ og $\ln(1+2x)$ er definert så lenge $1+2x>0$.
Altså er $f$ definert så lenge $x>-\frac{1}{2}$, så $D_f = \mathbb{R}\backslash(-∞,-\frac{1}{2}] = (-\frac{1}{2}, ∞)$.

For å finne verdimengden må vi spørre oss selv "for hvilke (reelle) $y$-verdier finnes det en $x \in \mathbb{R}$ slik at $y = f(x)$?"
Ved å tegne fortegnslinjer for den deriverte og den dobbelderiverte kan vi se at $f$ har et globalt maximum i $(\frac{5}{2}, \ln6 - \frac{5}{6})$, og at grafen synker for alle andre $x \in D_f$. I tillegg er den dobbelderiverte negativ for alle $x \in D_f$, så til høyre for $x=\frac{5}{2}$ vil grafen "synke raskere og raskere mot negativ uendelig". Altså får vi verdimengden $V_f = (-∞, \ln6 - \frac{5}{6}]$.

[bruker4321]

Tusen takk for svar. Dette var til stor hjelp!