Derivasjon - anvendt på praktisk oppgave

[Guest]

God kveld! Jeg sitter med en oppgave her, som jeg virkelig ikke får til.
Jeg henviser til skjermbilde: https://gyazo.com/5da3ce6bcbc884dae9cf154808d1f148

For det første, så skjønner jeg ikke selve konseptet her pga. mye tekst, og litt for utydelig (for meg) tekst.

Men jeg har jo noen tanker om selve problemet:

Jeg forstår at bonden ønsker å finne en optimal lengde av tauet som er festet til lamaen.
I tillegg vet jeg at tauet skal minst være langt 1, og ikke lengre enn 2.
Med en gitt bestemt lengde x, vil fortjenesten av lamasalget være lik [tex]14(1-e^{-x})[/tex]
Det står at bonden ønsker å maksimere denne fortjenesten, også står det at den optimale lengden skal være løsningen til g(x) = 0, noe jeg virkelig ikke kan forstå.
det står også at vi skal finne et uttrykk for venstre siden av g(x), som skal være et uttrykk i x, og at x'en vil være toppunktet til funksjonen?
Vel, tolker jeg det da riktig at uttrykk med x blir: uttrykk med x = [tex]14(1-e^{-x})[/tex] ?

Mange tusen takk for tiden og oppmerksomheten deres. Jeg prøver virkelig hardt på slike oppgaver, men kanskje jeg ikke har nok mental kapasitet. :/

[zell]

Den optimale lengden vil være løsningen til ligningen [tex]g(x) = 0[/tex]. [tex]g(x)[/tex] kan du finne ved å derivere uttrykket du finner for fortjenesten: differansen mellom inntektene fra lamaen og utgiftene ifb. gressing. Vi får:

[tex]g(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[I(x)-\frac{1}{\pi}A(x)\right] = I^\prime (x)-\frac{1}{\pi}A^\prime (x)[/tex] hvor [tex]I(x) = 14(1-\mathrm{e}^{-x})[/tex].

Problemet består altså i å finne [tex]A(x)[/tex]. Dersom x=1 er arealet rimelig greit å finne, men hva vil skje dersom x > 1?

Jeg vet ikke om svaret mitt er korrekt, men jeg endte i alle fall opp med [tex]x \approx 1.63[/tex]

[Guest]

Den optimale lengden vil være løsningen til ligningen [tex]g(x) = 0[/tex]. [tex]g(x)[/tex] kan du finne ved å derivere uttrykket du finner for fortjenesten: differansen mellom inntektene fra lamaen og utgiftene ifb. gressing. Vi får:

[tex]g(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[I(x)-\frac{1}{\pi}A(x)\right] = I^\prime (x)-\frac{1}{\pi}A^\prime (x)[/tex] hvor [tex]I(x) = 14(1-\mathrm{e}^{-x})[/tex].

Problemet består altså i å finne [tex]A(x)[/tex]. Dersom x=1 er arealet rimelig greit å finne, men hva vil skje dersom x > 1?

Jeg vet ikke om svaret mitt er korrekt, men jeg endte i alle fall opp med [tex]x \approx 1.63[/tex]

Hmm, jeg er usikker på hva som skjer når x >1, jeg prøvde å se på intervallet [1,2], men det er innenfor..
Programmet godtok tydeligvis ikke x = 1.63
Men jeg visste ikke at man må derivere her. Jeg trodde man skulle finne et uttrykk for venstre siden av g(x), og snu om for x'en i det uttrykket man finner for venstre siden, pga. det oppgis at den x'en representerer toppunktet (vet a derivering brukes til å finne max/min) ) Men det ser ut som jeg bugget opp i den tankegangen, hehe...

[zell]

Hvilket program? Dette er en tilnærmet løsning. Skal du gi uttrykket for g(x)?

[Guest]

Hvilket program? Dette er en tilnærmet løsning. Skal du gi uttrykket for g(x)?

Programmet er Maple. Du har helt rett angående det med å oppgi løsningen som tilnærmet. Det står til og med til slutt som "Kommentar" at det egner seg å løse g(x) = 0 med f. eks Newtons metode, men at man skal jo ende opp med tilnærmet løsning, men merkelig at det ikke godtas.

[Guest]

Jeg prøvde alternativt x = 1.6 , men det ble heller ikke godtatt som riktig svar.

[zell]

Slik jeg leser oppgaven skal svaret ditt være [tex]g(x)[/tex]. Altså den deriverte av inntekt-utgift. Problemet består fortsatt i å bestemme areal-funksjonen for din del.

[Guest]

Ok, jeg ser på figuren og tenker:

A(x) = l*b

A(x) =(x+1)*2

[Andreas345]

Lat et øyeblikk slik zell sier, at lengden på tauet er 1 meter. Da vil arealet av sirkelsektoren være [tex]A(1)=\frac{3}{4}\cdot \pi \cdot 1^2[/tex], klarer du å finne det resterende arealet dersom [tex]x > 1[/tex] og så utrykke hele arelaet med x?

[Guest]

Lat et øyeblikk slik zell sier, at lengden på tauet er 1 meter. Da vil arealet av sirkelsektoren være [tex]A(1)=\frac{3}{4}\cdot \pi \cdot 1^2[/tex], klarer du å finne det resterende arealet dersom [tex]x > 1[/tex] og så utrykke hele arelaet med x?

Wow wow, interessant. Man skal altså se på et slags sirkelområde!
Blir ikke det da A(x) = 3/4*Pi*x^2 ?

[Andreas345]

Hvis du tegner deg en skisse ser du at [tex]A(x)=\frac{3}{4} \cdot \pi \cdot x^2 + \frac{1}{4}\cdot \pi \cdot (x-1)^2[/tex]

Ser du hvorfor?

[Guest]

Hvis du tegner deg en skisse ser du at [tex]A(x)=\frac{3}{4} \cdot \pi \cdot x^2 + \frac{1}{4}\cdot \pi \cdot (x-1)^2[/tex]

Ser du hvorfor?

Jeg mener VIRKELIG ikke å gjøre noen sur, eller noe slikt, men jeg ser det bare ikke.
Det eneste jeg kan se er et rektangel. Jeg skjønner at, ok, bredden er 1 og lengden av låven er 2. Tauet til lamaen skal være minst 1 langt, men mindre enn 2. Det må da bety at den ikke kan komme seg til venstre siden. Men jeg klarer ikke visualisere bevegelsen, eller området som skal være en del av en hel sirkel.
Jeg prøver å forstå denne problemstillingen.

[zell]

Se for deg at lamaen går mens tauet er i spenn. Da må lamaen gå i en sirkel med radius lik tauet. Dersom låven ikke hadde vært der kunne lamaen gått hele runden (blir det samme som om lamaen hadde vært festet i en påle), men siden låven er i veien går ikke det. Hvis x > 1 vil lamaen kunne sveipe 3/4 av en sirkel med radius lik x, men i tillegg runde hjørnet av låven nede til høyre - dette vil da bli 1/4 av en ny sirkel med radius x-1.

[Guest]

Se for deg at lamaen går mens tauet er i spenn. Da må lamaen gå i en sirkel med radius lik tauet. Dersom låven ikke hadde vært der kunne lamaen gått hele runden (blir det samme som om lamaen hadde vært festet i en påle), men siden låven er i veien går ikke det. Hvis x > 1 vil lamaen kunne sveipe 3/4 av en sirkel med radius lik 1, men i tillegg runde hjørnet av låven nede til høyre - dette vil da bli 1/4 av en ny sirkel med radius x-1.

Aha, aha! Da tror jeg at jeg faktisk skjønte det! Btw, jeg sjekket med Maple, og den skal tydeligvis ikke ha x-verdien, men uttrykket for g(x). Det står greit utydelig i teksten, ettersom sluttkommentaren henviser til å løse g(x)=0.
Jeg endte opp med g(x) = 14e^(-x) - 2x + 1/2 (Jeg skulle til å bruke Latex, men det kommer ikke opp).

Jeg skal også poste det jeg gjorde etterpå, sånn at dere kan se at jeg muligens skjønte det.