Finne funksjonsuttrykket til en tredjegradsfunksjon

[Guest]

Hei. Jeg har et bilde av en tredjegradsfunksjon og skal finne funksjonsuttrykket.

Funksjonen har nullpunkt i (0,0), toppunkt i (1,4) og bunnpunkt i (3,0)

Hvordan kan jeg finne funksjonsuttrykket?

[Fysikkmann97]

En tredjegradsfunksjon kan faktorisereres i faktorer av første grad. Det gjør du slik:

[tex]a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})[/tex]

Der x1, x2 og x3 er x-verdiene der funksjonsuttrykket er 0. a er koeffesienten til tredjegradsleddet.

[Nebuchadnezzar]

Jeg ville nok begynt hakket annerledes. Jeg ville begynt å sette opp opplysningene og se hvor mange likninger jeg får. At funksjonen har nullpunkt i $(0,0)$ gir $f(0) = 0$, bunnpunkt i $(3,0)$ gir $f'(3) = 0$ og $f(3) = 0$ tilsvarende for toppunktet fås $f(1) = 4$ og $f'(1) = 0$.

Siden den deriverte må gå gjennom to punkter, må funksjonen vår være av grad 3. Anta derfor at

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Heretter er det bare å sette inn opplysningene ovenfor, slik at du får et likningsett du kan løse for $a$, $b$, $c$ og $d$. For eksempel at $f(0) = 0 $ er det samme som at $a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d = 0$, med andre ord $d = 0$.

Slik kan du fortsette for å bestemme de andre konstantene og. Dersom du står fast ved å løse likningene er det bare å spørre. Anbefaler deg å først se på $f'(3) = 0$ og $f'(1) = 4$.

=================================

Om du er smart så vet du at $f(x)$ må være på formen $f(x) = x \cdot g(x)$. Siden $f(0) = 0$. Videre siden $f(3) = f'(3) = 0$ må $(x-3)^3$ være en faktor i uttrykket.
En logisk tankegang er da å prøve $g(x) = (x-3)^2$ og se om det passer med toppunkt i $(1,4)$.