Pyramide - integral

[ThomasSkas]

Hei hei!!

Kheopspyramiden hevdes å ha tatt 20 år å bygge. Pyramiden var [tex]146[/tex]
meter høy da den stod ferdig, og hadde en kvadratisk grunnflate med sidelengde [tex]230[/tex]meter
Anta at steinene brukt til å bygge pyramiden har massetetthet [tex]1920kg/m^3[/tex]

Anta også at hver arbeider utførte et arbeid tilsvarende [tex]218[/tex] J/h ved å løfte steiner fra bakkenivå til
den endelige plasseringen i pyramiden, og at hver arbeider jobbet [tex]12[/tex] timer hver dag,
[tex]330[/tex] dager i året.

Hvor mange arbeidere måtte til for å bygge pyramiden?

Jeg ser ikke helt hvordan jeg skal angripe denne oppgaven.
Det er i forbindelse med anvendelser av integrasjon osv. , men jeg vet jo at opplysningen om at
hver arbeider utførte et arbeid tilsvarende 218 J/h, er rett og slett f. eks arealet under grafen til en "kraft-funksjon", dvs. kraft*forflytning. (evt. gange med vinkelen).
Ved hjelp av opplysningene ovenfor kan jeg regne ut volumet ettersom jeg har høyden, og kan beregne arealet av grunnflaten.
Jeg har også oppgitt massetettheten, noe som gjør at jeg ved hjelp av [tex]p=\frac{m}{V}\Rightarrow m=pV[/tex]kan beregne massen til pyramiden når jeg først finner volumet.

[MatIsa]

Jeg tror at denne kan løses ved å bruke potensiell energi til å finne det totale arbeidet $W$ som må utføres for å løfte alle steinene opp til sin plassering, og deretter bruke at $W = n\cdot 218~J/h\cdot 12~h/dag\cdot 330~dag/år\cdot 20~år$, der $n$ er antall arbeidere. Dersom nullnivået for potensiell energi er ved bakken, vil en masse $m$ som befinner seg $y$ meter over bakken ha potensiell energi $E_P = mgy$, og arbeidet som må utføres for å løfte den opp er da lik dette. For en liten masse $dm$ har man da at $dW = gy~dm$. Det eneste som gjenstår er å finne et uttrykk for $dm$, noe som kan gjøres ved å dele pyramiden opp i tynne kvadratiske skiver med høyde $dy$.

[ThomasSkas]

Jeg tror at denne kan løses ved å bruke potensiell energi til å finne det totale arbeidet $W$ som må utføres for å løfte alle steinene opp til sin plassering, og deretter bruke at $W = n\cdot 218~J/h\cdot 12~h/dag\cdot 330~dag/år\cdot 20~år$, der $n$ er antall arbeidere. Dersom nullnivået for potensiell energi er ved bakken, vil en masse $m$ som befinner seg $y$ meter over bakken ha potensiell energi $E_P = mgy$, og arbeidet som må utføres for å løfte den opp er da lik dette. For en liten masse $dm$ har man da at $dW = gy~dm$. Det eneste som gjenstår er å finne et uttrykk for $dm$, noe som kan gjøres ved å dele pyramiden opp i tynne kvadratiske skiver med høyde $dy$.

Tenker du da på å finne volumet, også utnytte at [tex]m=p\cdot V[/tex]
?

[MatIsa]

Tenker du da på å finne volumet, også utnytte at [tex]m=p\cdot V[/tex]
?

Jepp, en kvadratisk skive med sidelengde $s$ og høyde $dy$ vil ha volumet $dV = s^2~dy$, og massen $dm = \rho\cdot dV = \rho s^2~dy$. Det eneste som gjenstår er å finne et uttrykk for sidelengden $s$ ved høyden $y$