Zigma-Regning

[Topher]

Heisann, på skolen i dag begynte vi på Zigma regnestykker, og det var et regnestykke som var:

[tex]\large _{i=1}^{}\Sigma (-2)^i[/tex]

(10 skal stå over Zigma tegnet!)

Og vi ble bedt om å regne ut ett og ett ledd slik at vi fikk rekken -2+4-8 osv. og så skulle vi legge alt det sammen og regne det ut, men det må da finnes en enklere metode å finne summen på? Er det noen som vet hva slags formel jeg kan bruke for å regne ut summen? jeg ser at n=10 og a1=-2, kan jeg bruke dette til å utlede en slags formel?

[Nebuchadnezzar]

For å skrive summen skikkelig kan en bruke _ og ^ for å få plassert tallene rett. Eksempelvis

Code: Select all

 \sum_{k=1}^n (-2)^i 

Det er helt rett at det er tungvindt å regne sammen hvert ledd, og heldigvis er summen på rett form slik at det finnes en raskere måte. Summen din er bedre kjent som geometrisk rekke. Dette er en sum som på formen

$ \hspace{1cm}
\sum_{k=0}^n x^k = \frac{ x^n - 1 }{ x - 1}
$

Med litt triksing (merk at summen ovenfor starter på $0$ og ikke $1$) så kan en bruke formelen ovenfor til å bestemme summen. Jeg kan skissere et bevis for formelen nedenfor, men du kan selv prøve å bevise den via induksjon. Det er ikke umulig, og kan være en god erfarig.

$
S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x^k
$

Trikset er at vi nå studerer $(x - 1)S_n$. Dette gir meg følgende

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
(x - 1) S_n
& = x S_n - S_n \\
& = x \sum_{k=0}^{n-1} x^k - \sum_{k=0}^{n-1} x^k \\
& = \sum_{k=0}^{n-1} x^{k+1} - \sum_{k=0}^{n-1} x^k \\
& = \sum_{k=1}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n-1} x^k \\
& = x^n + \sum_{k=1}^n x^k - \left( x^0 + \sum_{k=1}^{n-1} x^k \right) \\
& = x^n - 1
\end{align*}
$
Og resultatet følger av å dele med $x - 1$ på begge sider.