Flateintegral

[intramin]

Jeg har ett flateintegral, trekant gitt ved hjørnepunkter: (0,0), (1,1) og (0,1). Oppgaven er å beregne flateintegralet:
[tex]\int\limits_S x\hat j \cdot dS[/tex]
der S er grafen til funksjonen [tex]G(x,y)=1+y^2[/tex] innenfor trekanten, orientert slik at normalen har positiv z-komponent.

Hvordan i all verden starter jeg på en slik oppgave?

[DennisChristensen]

Jeg har ett flateintegral, trekant gitt ved hjørnepunkter: (0,0), (1,1) og (0,1). Oppgaven er å beregne flateintegralet:
[tex]\int\limits_S x\hat j \cdot dS[/tex]
der S er grafen til funksjonen [tex]G(x,y)=1+y^2[/tex] innenfor trekanten, orientert slik at normalen har positiv z-komponent.

Hvordan i all verden starter jeg på en slik oppgave?

Parameteriser flaten som $\mathbf{r}(s,t) = (s,t,1+t^2)$.

$\therefore \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \wedge \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2t\end{vmatrix} = (0, -2t, 1)$. Merk deg at denne normalen har positiv $z$-komponent.

Ettersom $x=s, y=t$ er det rimelig enkelt å finne integrasjonsgrensene. (Tegn trekanten og merk deg forholdet mellom $x$ og $y$)

$\therefore \int_S x\mathbf{j} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^1 \int_0^t s\mathbf{j}\cdot (0,-2t,1)\text{ }ds\text{ }dt = -2\int_0^1 \int_0^t st\text{ }ds \text{ }dt = -2\int_0^1 \left[\frac{s^2}{2}t\right]_0^t \text{ } dt = - \int_0^1 t^3\text{ }dt = - \left[\frac{t^4}{4}\right]_0^1 = -\frac{1}{4}$.