[tex]f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}(e^{-t}-t) dt[/tex] Har fått oppgitt denne funksjonen og oppgaven er å vise at funksjonen har et lokat maksimum i [0,1]
Syns integralet gjør den litt vrien, kan noen hjelpe?
Vrien funksjonsdrøfting
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
For å vise at den har et maksimum må du vise at den deriverte er null på intervalet. Klarer du å finne den deriverte?
Og så kan du f.eks bruke skjæringssetningen =) http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=8796
Og så kan du f.eks bruke skjæringssetningen =) http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=8796
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Vi må bare vise at integranden g(t) har et nullpunkt i intervallet. g(0)=1, og g(1)<0, og er kontinuerlig så den må ha (minst) ett nullpunkt. Derfor må f(x) lokalt maksimum i dette intervallet. Kanskje vis at integranden er monoton, og at det derfor bare er *ett* maksimum.
-
- Pytagoras
- Posts: 10
- Joined: 17/10-2015 13:50
Hjertelig takk alle sammen, var til stor hjelp! 

-
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Kan jo legge ved en løsning siden det virker som det er flere som lurer på denne oppgaven.
$ \hspace{1cm}
f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}(e^{-t}-t) \,\mathrm{d}t
$
Den derivert er gitt som
$ \hspace{1cm}
f'(x) = e^{-x^{2}}(e^{-x}-x)
$
Videre så er
$f'(0) = 1$ og $f'(1) = e^{-2} - e^{-1}$. Herfra er det åpenbart at $f'(0) > 0$.
Så trenger en bare vise at $f'(1) < 0$. Men $e^{-2} < e^{-1}$ ved for eksempel å gange med $e^{2}$ og legge merke til at $e > 1$.
$ \hspace{1cm}
f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}(e^{-t}-t) \,\mathrm{d}t
$
Den derivert er gitt som
$ \hspace{1cm}
f'(x) = e^{-x^{2}}(e^{-x}-x)
$
Videre så er
$f'(0) = 1$ og $f'(1) = e^{-2} - e^{-1}$. Herfra er det åpenbart at $f'(0) > 0$.
Så trenger en bare vise at $f'(1) < 0$. Men $e^{-2} < e^{-1}$ ved for eksempel å gange med $e^{2}$ og legge merke til at $e > 1$.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk