Vrien funksjonsdrøfting

[kristoball1994]

[tex]f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}(e^{-t}-t) dt[/tex] Har fått oppgitt denne funksjonen og oppgaven er å vise at funksjonen har et lokat maksimum i [0,1]


Syns integralet gjør den litt vrien, kan noen hjelpe?

[Nebuchadnezzar]

For å vise at den har et maksimum må du vise at den deriverte er null på intervalet. Klarer du å finne den deriverte?
Og så kan du f.eks bruke skjæringssetningen =) http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?t=8796

[kjellxyz]

Hei!

Bruk error funksjon. Har du skrevet oppgaven riktig?

Kjell

[viking]

Vi må bare vise at integranden g(t) har et nullpunkt i intervallet. g(0)=1, og g(1)<0, og er kontinuerlig så den må ha (minst) ett nullpunkt. Derfor må f(x) lokalt maksimum i dette intervallet. Kanskje vis at integranden er monoton, og at det derfor bare er *ett* maksimum.

[kristoball1994]

Hjertelig takk alle sammen, var til stor hjelp!

[Nebuchadnezzar]

Kan jo legge ved en løsning siden det virker som det er flere som lurer på denne oppgaven.

$ \hspace{1cm}
f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}(e^{-t}-t) \,\mathrm{d}t
$

Den derivert er gitt som

$ \hspace{1cm}
f'(x) = e^{-x^{2}}(e^{-x}-x)
$

Videre så er

$f'(0) = 1$ og $f'(1) = e^{-2} - e^{-1}$. Herfra er det åpenbart at $f'(0) > 0$.
Så trenger en bare vise at $f'(1) < 0$. Men $e^{-2} < e^{-1}$ ved for eksempel å gange med $e^{2}$ og legge merke til at $e > 1$.