Integrasjon og grenser

[Obseth]

Hei!
Jobber med dobbel og trippel integraler, i oppgaven nedenfor så har jeg problemer med å finne grensene til integralet som skal utføres. Dette er et gjentakende problem jeg støter på i slike typer oppgaver. Selve integrasjonen går stort sett greit hvis jeg finner grensene.

Oppgave:
Funksjonen f er definert på kvartsirkelen D : x^2 + y^2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0, slik:
f(x, y) = xy, og T er legemet avgrenset av grafen til f, bunnflaten D og en vertikal
sidevegg.
(a) Grafen til f, sammen med bunnflaten D og en vertikal sidevegg, avgrenser et
legeme T i rommet. Finn volumet av T.


Har prøvd å tegne opp de forskjellige elementene, D og f(x,y), men får ikke taket på grensene som det skal integreres fra-til.

[DennisChristensen]

Bytt til syldindriske polarkoordinater:

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$.

$\therefore \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} \right|= \left| \det \begin{pmatrix} x_r & x_{\theta} & x_z \\ y_r & y_{\theta} & y_z \\ z_r & z_{\theta} & z_z \end{pmatrix}\right| = \left| \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right| = |r\cos^2\theta + r\sin^2\theta| = |r| = r$, så volumet $V$ blir

$\begin{align*} V = \iiint_T \, d^3 x & = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^2 \int_{z=0}^{r^2\cos\theta\sin\theta} r \,dz \,dr \,d\theta \\
& = \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^2 r^3\cos\theta\sin\theta \,dr \,d\theta \\
& = 4 \int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin\theta \,d\theta \\
& = 2\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) \,d\theta \\
& = \left[-\cos(2\theta)\right]_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \\
& = 2 \end{align*}$