Horisontal asymptote og grenseverdi
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
privatistmatte
Hva er egentlig forskjellen mellom horisontal asymptote og grenseverdi? Man prøver jo å stryke i teller og nevner i begge tilfellene?
-
Dolandyret
- Lagrange
- Posts: 1264
- Joined: 04/10-2015 22:21
En grenseverdi er et tall. Hvis vi kan få f(x) så nærme et tall L vi vil ved å la x komme nærmere og nærmere et tall a, så sier vi at f har grenseverdien L i punktet x = a.privatistmatte wrote:Hva er egentlig forskjellen mellom horisontal asymptote og grenseverdi? Man prøver jo å stryke i teller og nevner i begge tilfellene?
En asymptote er derimot en linje som funksjonen kommer nærmere og nærmere, og som vi kan få funksjonen så nær vi bare vil. Horisontale og skrå asymptoter er horisontale eller skrå linjer som funksjonen nærmer seg når x går mot pluss/minus uendelig, mens vertikale asymptoter er vertikale linjer som funksjonen nærmer seg når x nærmer seg en bestemt verdi på x-aksen (ofte en verdi der funksjonen ikke er definert).
Det er en sammenheng mellom asymptoter og grenseverdier (begge har med hva som skjer med funksjonen når x nærmer seg noe), men de er altså ikke det samme. For eksempel har funksjonen f(x)=x2 grenseverdien 4 i x = 2, men den har ingen asymptote der.
Asymptotene kan beskrive verdimengden til funksjonen, men de vil ikke alltid gjøre det. Det kommer litt an på hvordan funksjonen ser ut. Hvis vi tar funksjonen f(x)=ex så ser vi at limx→−∞f(x)=0, så y = 0 er en horisontal asymptote for denne funksjonen. Siden funksjonen alltid er voksende kan vi si at denne asymptoten da må begrense hvor "lavt" funksjonen går. Men merk at en funksjon kan godt ha en horisontal asymptote og likevel ta verdier over / under denne. Et eksempel er jo f(x)=1/x som tar alle verdier mellom pluss og minus uendelig, utenom 0, selv om den har en horisontal asymptote.
Grenseverdier forteller ikke om form eller stigningstall. Den deriverte av en funksjon forteller noe om stigningen i et hvert punkt. Grenseverdier forteller oss bare hva funksjonen går mot når x går mot et tall (eller uendelig), det er alt.
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
