Finne derivert i et punkt, funksjonsdrøfting

[kristoball1994]

Heisann! Jeg har fått oppgitt funksjonen: [tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} 1+x^2 for\rightarrow x\leq 0 & & \\ (arctanx)/x for\rightarrow x> 0 & & \end{matrix}\right.[/tex]

i en deloppgave blir jeg spurt om å finne en invers funksjon [tex]f^{-1}[/tex] og om å finne den deriverte til denne funksjonen i punktet [tex]x=\frac{\pi }{2}[/tex]


Jeg er ikke helt sikker på delen hvor man finner den deriverte i punktet [tex]x=\frac{\pi }{2}[/tex]
Kunne der hjulpet?

[Nebuchadnezzar]

Skal du finne den deriverte til $f(x)$ i punktet $x = \pi/2$ og ikke $f^{-1}(x)$?

Hvis du skal regne ut sistnevnte må du bruke sammenhengen

$ \hspace{1cm}
\left( f^{-1}( y )\right)' = \frac{1}{f'(x)}
$

hvor $x = f^{1}(y)$ eller med andre ord $f(x) = y$. Ved å sette inn $y = \pi/2$ får en

$ \hspace{1cm}
\left( f^{-1}( \pi/2 )\right)' = \frac{1}{f'(x)}
$

Hvor $f(x) = \pi/2$. Med andre ord må du finne ut for hvilke $x$ verdi funksjonen din kan ha høyde $\pi/2$. Her vil en figur hjelpe.
Husk å forklar hvorfor $(\arctan x)/x \neq \pi/2$ for $x>0$ mens det eksisterer en $x$ slik at $1 + x^2 = \pi/2$ for $x\leq 0$.