Delbrøkoppspalting - Hvordan gå frem?

[Guest]

Hei!
Jeg fortår ikke helt hva som skjer i denne oppgaven:

Ved en kjemisk reaksjon dannes det et nytt molekyl ut fra et molekyl av hvert
av to stoffer. Da prosessen startet, dvs. ved t = 0, fantes de to stoffene med konsentrasjonene
a og b (molykyler/cm3 ). Hvis y = y(t) er konsentrasjonen til det nye stoffet ved tiden t, tilfredsstiller
y initialverdi-problemet

[tex]\frac{dy}{dt}=k(a-y)(b-y)[/tex]

Man ser fort at dette er en separabel differensiallikning, og jeg skriver om til:

[tex]\frac{1}{(a-y)(b-y)}dy=kdt[/tex]

Løsningforslaget har derimot skrevet:

[tex]\frac{1}{k(a-y)(b-y)}dy=dt[/tex]

Hvorfor er det mer logisk?

Videre er det neste steget mitt som er problemet. Jeg vet jeg må delbrøkoppspalte venstresiden, men løsningsforslaget gadd ikke gjøre det, og førte opp dette svaret:

https://gyazo.com/365f30f0e2add8165afd9eb382d5da66

Noe jeg ikke klarer å se for meg helt hvordan de har kommet frem til

Takk for all hjelp.

[Guest]

Generelt har du ved delbrøksoppspalting:
$\frac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2) ... (x-x_n)} = \frac{A_1}{(x-x_1)} + \frac{A_2}{(x-x_2)} + ... + \frac{A_n}{(x-x_n)}$
Som vil si at $\frac{1}{(a-y)(b-y)} = \frac{A_1}{(a-y)} + \frac{A_2}{(b-y)}$
Ganger du med fellesnevner på begge sider får du da
$1 = A_1(b-y) + A_2(a-y)$
Så velger du enten y=b eller y=a
$1 = A_1(b-b) + A_2(a-b) \Rightarrow A_2 = \frac{1}{(a-b)}$ og omvendt for $A_1$ (velg y=a)
Tilsammen får du da
$\frac{1}{(a-y)(b-y)} = \frac{1}{(b-a)(a-y)} + \frac{1}{(a-b)(b-y)}$
når du setter in $A_1$ og $A_2$