Formelle definisjon av grenser

[Flaw]

Hei! Jeg forsøker å finne grensen $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(e^{-x^2}\right)$ ved å benytte den formelle definisjonen av grenser.

Normalt vil man jo benytte at $|f(x)-L|<ϵ$ og $|x-a|<\delta$ der $a$ er grensen man går mot. Hva den faktiske grensen går mot er jo ikke vanskelig å se intuitivt, men jeg sliter med å benytte den formelle definisjonen der x går mot uendelig, for det at $|x-\mathrm{\infty }|<\delta$ sier meg jo ingenting?

[Vektormannen]

Den definisjonen du viser til her gjelder når a er et reelt tall. Grenser der x går mot uendelig har en litt annen definisjon; da skal vi vise at vi alltid kan finne en $c$ slik at når $x>c$ så er $|f(x)-L|<ϵ$. Se for øvrig https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_ ... t_infinity

[Flaw]

Ok. Så jeg regner med vi antar at $ϵ\ge 0$. Videre vet jeg at $e^{-x^2}<e^{-x}$ sålenge $x>0$. Da må vel dette være bevist?

Altså, dersom vi lar $ϵ>$ den stoerste av $e^{-x}$ og $0$, da er $|e^{-x^2}-0|<e^{-x}\ge ϵ$

Eller tenker jeg feil nå?

[Nebuchadnezzar]

hus at det er $c$ du skal fiksere, ikke $\epsilon$. Tenk deg at jeg gir deg en epsilon for eksempel $\epsilon =1/10$, hva må da $c$ være?

Selv ville jeg nok valgt $c=\text{Re}\left(\sqrt{-\log \epsilon }\right)$ Men smaken er som baken =) (Virker som du sier som $c=-\log c$ og fungerer for positive $x$ =) )

[Flaw]

Ok. Jeg ser at fra $|e^{-x^2}|<ϵ$ kan vi få $|x|<-\sqrt{\ln ϵ}$ ved å simpelthen ta ln på begge sider (hva skjer med absolutten i dette tilfellet? Edit: Forsvinner vel siden funskjonen vi hadde ved et punkt $(x^2\ln e)$ alltid er positiv?)

Og følgelig, dersom vi velger at $x>-\sqrt{\ln ϵ}$ så holder sammenhengen? Er det hva du mener?

[Flaw]

Kan vel egentlig også se at siden $e^{-x^2}=\frac{1}{e^{x^2}}<\frac{1}{x^2}$

Dersom $x>c$ blir da $e^{-x^2}<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{c^2}$

Så om vi velger $c=\frac{1}{\sqrt{ϵ}}$, gitt at $ϵ>0$

Så får vi at $|e^{-x^2}|<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{c^2}=ϵ$

Nå tror jeg at jeg er på riktig spor?

[Nebuchadnezzar]

Det siste du skrev er helt riktig. Mtp $1/x^2$ osv. Merk at du ikke kunne ha valgt $c=-\sqrt{\log \epsilon }$, hva blir c om $\epsilon =0.001$ for eksempel?

Kommer litt ann på hvor $god$ epsilon en ønsker. Med tanke på korrektheten av beviset fungerer begge to like godt.
Anta $x>\sqrt{-\log \epsilon }$ da er

$|f(x)-L|=|e^{-x^2}|<|e^{-(\sqrt{-\log \epsilon }{)}^2}|=|e^{\log \epsilon }|=\epsilon$

Som fullfører beviset. Om en i stedet velger $c=-\log (\epsilon )$ får en tilsvarende

$|f(x)-L|=|e^{-x^2}|<|e^{-x}|<|e^{-(-\log (\epsilon ))}|=|e^{\log \epsilon }|=\epsilon$

Som igjen var den en ønsket å vise

[Vektormannen]

Jeg leste første post litt grundigere nå og vil bare legge til at vi ikke bruker epsilon-delta til å finne grenser, men til å vise at grensen faktisk er den verdien vi påstår at det er. Epsilon-delta er det teoretiske grunnlaget vi bruker for å bevise at de regnereglene vi har for å finne grenseverdier faktisk er riktige

[Flaw]

Takker for inputten begge to, tror jeg endelig har dette konseptet helt i boks.